与二次根式有关的最值如何求.doc

　　　　　　　　　　　　快乐学习，尽在苏州中学网校 PAGE PAGE 4 与二次根式有关的最值如何求 施时刚 本文以近几年的竞赛题为例，介绍与二次根式有关的最值问题的常用解法，供读者参考。 1.借用取值范围求最值 例1.代数式的最小值为（） A.0 B. C.1 D.不存在的 分析：由二次根式有意义的取值范围知，被开方数必须非负 所以 解得 而被开方数越小，算术平方根的值就越小 所以当时 取得最小值，其值为 故选B 2.因式分解与枚举法结合求最值 例2.设x、y都是正整数，且使，则y的最大值是________。 分析：因为x、y是正整数，又x在被开方数中，不易直接讨论，我们先用换元法把它有理化处理，再相机处理之。 令 a，b为正整数 则 即 因式分解得： 而奇偶性相同，右边是偶数 所以同为偶数 且 解得 所以 故 3.借用基本不等式求最值 例3.若，则的最大值是___________ 分析：本题是条件最值问题，变量x、y需满足一定的条件。先采取变量换元。 令（） 则 两式相加得 因为 所以 （*） 由基本不等式知 且时ab积达到最大 此时 即 又 解得且 故达到最大值为 4.倒数法求最值 例4.若，求的最大值是_____________。 分析：易知原式取最大值须满足 此时 由此可知，当（即）时，上式的最小值为。 故原式的最大值为 5.应用绝对值性质求最值 例5.实数a、b满足，则的最大值为___________。 分析：首先根据数的开方的基本公式： 把原条件等式等价转化为： 由绝对值的性质 所以 此等号成立的条件为： 所以当时，达到最大值，其值为45。 6.数形结合求最值 例6.函数的最小值为_____________ 分析：首先易知要使f(x)取得最小值，显然x应大于零。如图，作线段AB＝4，，，且，BD＝2，对于AB上的任一点O，令 则 那么，问题转化为在AB上求一点O，使最小。 设点C关于AB的对称点为E 则DE与AB的交点即为点O 此时， 作EF//AB与DB的延长线交于F 在中，易知，DF＝3 所以DE＝5 因此，函数的最小值为5。