与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题,将所求的对象进行适当的移动.doc

与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题，将所求的对象进行适当的移动、分割或拼补以简化计算是常用的方法． 1．如图17-1，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率取3.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米? 【分析与解】 如下图，添上部分辅助线，有花瓣的面积为4个边长为2的小正方形面积加上4个的面积减去4个的面积，即加上 个半径为1的圆的面积． 所以花瓣组成的图形的面积为4×2×2+1×1×1 716+3.1416=19.1416平方厘米． 2．如图17-2，一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，其中盘A直径为10厘米，盘B直径为40厘米，盘C直径为20厘米．问：A顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米?( 取3.14．) 【分析与解】 A顺时针转一周时，C顺时针转周，同轴的B也顺时针转周，从而绳索被拉动的距离等于B的半个圆周长即×2062.8，这时重物应该上升去×62.8=31.4． 所以重物上升31.4厘米． 3．图17-3为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长? 【分析与解】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积． 因此 纸的长度 (厘米) 所以，这卷纸展开后大约71. 4. 如图17-4，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的，是小圆面积的．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米? 【分析与解】 小圆的面积为，则大小圆相交部分面积为,那么大圆的面积为，而，所以大圆半径为7.5厘米． 5．如图17-5，在18×8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几? 【分析与解】 我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+16=54个，其中 部分有6+6+8=20个，部分有6+6+8=20个，而1个 和1个 正好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含54+20=74个完整小正方形，而整个方格纸包含8×18=144个完整小正方形． 所以图中阴影面积占整个方格纸面积的，即． 6．如图17-6，用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米? 【分析与解】 有小圆直径的3倍为大圆的直径，所以小圆的面积是大圆的，现在剪去7个小圆，它们的面积和为，所以剩下的角料的面积为大圆面积的． 即所余下的边角料的总面积是36×=8平方厘米． 7．如图17-7，已知大正方形的面积是22平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米? 【分析与解】 如下左图所示，设DC=x，则=22，而小正方形FGHI的边长为HI，我们虽然知道大正方形内圆的半径EO为，则直径FH为x，却不易求出小正方形边长FG． 但是，我们将小正方形内的等腰直角三角形FGH割补至，则得到的大三角形是以FH为直角边的等腰直角三角形，所以其面积为，即为×22=11． 所以小正方形的面积是11平方厘米． 8．图17-8是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．让A点不动，把整个半圆逆时针转，此时B点移动到C点，如图17-9所示．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?(取3．14．) 【分析与解】 有图中阴影部分面积等于以AC为直径的半圆，以AC为半径的扇形的面积和减去以AB为直径的半圆面积，所以面积相等． 那么阴影部分的面积等于以AC为半径的扇形的面积，即1.5×3.14=4.71平方厘米．  9．如图17-10，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率取近似值． 【分析与解】 原题图中的左边部分可以割补至如下图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求． 因为四分之一大圆的半径为7，所以其面积为=38.5． 四分之一大圆内的等腰直角三角形ABC的面积为×7×7=24.5，所以阴影部分的面积为38.5-24.5=14． 10．如图17-11，等腰直角三角形的一腰的长是8厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么阴影部分的面积共有多少平方厘米?(取3.14) 【分析与解】 如下图，我们将原题中阴影部分分成①、②、③、④4个部分，并且这4个部分的面积相等