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与直线方程有关的三个最值问题 上海大学附属中学 200436 喻碧波 王敏杰 如图1 在解析几何中，以下问题非常普通。如图1，直线l过点P（1，2），分别交x轴、y轴正半轴于A、B两点。若再添加一条件，就可确定直线l的方程。由于问题涉及直线与坐标轴的交点，故可考虑直线的截距式方程，设直线l：，其中A（a，0），B（0，b），然后待定求解。本文将在此条件下，对几个最值问题给出解答，并作出几何解释。 如图1 问题1：△AOB面积何时最小？ 由图形知，△AOB的面积有最小值。因为直线l过点P（1，2），所以。欲使△AOB的面积最小，由均值不等式可得：。 所以，即△AOB的面积有最小值4。等号成立当且仅当a=2，b=4。 如图2此时直线l：。 如图2 注意到此时P恰好为线段AB的中点。该问题的几何解释为：P为第一象限内一点，过P的直线交坐标轴正半轴于A、B两点，当P恰好为线段AB的中点时，△AOB的面积最小。如图2，另有过P的直线交坐标轴于点A1，B1。过A作BB1的平行线，交A1B1于点Q，易知AQBB1为平行四边形，故，所以，即当P为AB中点时，△AOB的面积最小。由几何知，当∠AOB不是直角时，命题仍然成立。 问题2：△AOB周长何时最小？ △AOB的周长，其中。这是关于a、b的条件不等式，可先将放缩为a、b的一次式，再利用不等式求最小值。此处需两次利用不等式，为使不等式两次取等号时，a、b取值一致，可引入待定系数。 设，则， 等号成立当且仅当，即。所以 如图3等号成立当且仅当。 如图3 两等号同时取到，则。 再结合可得， ，所以， 直线l：，此时△AOB的周长最小， 为。 此时的几何对应可解释为，以O、P为焦点的椭圆与x、y正半轴交于A、B，当A、P、B三点共线时即为所求。如图3，由椭圆的光学性质知，光线可从O点出发，射向B点，经椭圆壁反射，经过点P、A可回到O点。根据费马原理，此时△AOB的周长最小。本文猜测，当∠AOB不是直角时，几何对应仍然成立。 问题3：线段AB何时最短？ 线段AB的最小值与△AOB的周长最小值求解方法相同，过程更简单。设，则 第一个不等式等号成立时，，第二个不等式等号成立时，。 所以，，，此时线段AB长最小为， 如图4直线l：。 如图4 该问题的几何解释为，长度为d的线段AB，两端点分别在x轴、y轴正半轴移动，当点P恰好在线段AB所形成的包络上时，d为最小值，经过点P的线段AB即为所求。长度为d的线段所形成的包络曲线方程为：，如图4。这样，将P点代入就可得线段AB的最小值。本文猜测，当∠AOB不是直角时，几何对应仍然成立，只是相应的包络曲线方程难以表征。 图1中所包含的有关最值问题还有很多，本文仅举三例以抛砖引玉。 《数学教学》2005/05