专题三：数列与不等式的交汇题型分析及解题策略.doc

专题三：数列与不等式的交汇题型分析及解题策略 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 2．理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。 4．理解不等式的性质及其证明． 5．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． 6．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． 7．掌握简单不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│． 1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇. 2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大. 3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想. 题型一　求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D，则当x∈D时，有f(x)≥M恒成立?f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立?f(x)max≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. 【例1】　等比数列{an}的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋an＞eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,an)恒成立的正整数n的取值范围. 【分析】　利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a1与公比q之间的关系，再利用等比数列前n项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n的取值范围. 【解】　由题意得：(a1q16)2＝a1q23，∴a1q9＝1. 由等比数列的性质知：数列{eq \f(1,an)}是以eq \f(1,a1)为首项，以eq \f(1,q)为公比的等比数列，要使不等式成立， 则须eq \f(a1(qn－1),q－1)＞eq \f(eq \f(1,a1)[1－(eq \f(1,q))n],1－eq \f(1,q))，把aeq \o(2,1)＝q?18代入上式并整理，得q?18(qn－1)＞q(1－eq \f(1,qn))， qn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数的取值范围是n≥20. 【点评】　本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用. 【例2】　（08·全国Ⅱ）设数列{an}的前项和为Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．(Ⅰ)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围． 【分析】　第（Ⅰ）小题利用Sn与an的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件an+1≥an转化为关于n与a的关系，再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min求解． 【解】　(Ⅰ)依题意，Sn+1－Sn＝an+1＝Sn＋3n，即Sn+1＝2Sn＋3n， 由此得Sn+1－3 n+1＝2(Sn－3n)． 因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2 n?1，n∈N*, ① (Ⅱ)由①知Sn＝3n＋(a－3)2 n?1，n∈N*， 于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn?1＝3n＋(a－3)2 n?1－3n?1－(a－3)2 n?2＝2×3n?1＋(a－3)2 n?2， an+1－an＝4×3 n?1＋(a－3)2 n?2＝2 n?2·[12·(eq \f(3,2))n?2＋a－3]， 当n≥2时，an+1≥an，即2 n?2·[12·(eq \f(3,2))n?2＋a－3]≥0，12·(eq \f(3,2))n?2＋a－3≥0，∴a≥－9， 综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞]． 【点评】　一般地，如果求条件与前n项和相关的数列的通项公式，则可考虑Sn与an的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视. 题型二　数列参与的不等式的证明问题 此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的. 【例3】　已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求数列{