专题十：数列的极限与函数的导数.doc

PAGE PAGE 8 专题十：数列的极限与函数的导数 瓶窑中学 童国才 【考点审视】 极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变： （1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限： 1)是常数）,2),3). (2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。 （3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。 （4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。 （5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。 （6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。 【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对、、、型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14）= 【分析】这是型，需因式分解将分母中的零因子消去，故 ==。 2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如： （2004年广东,4）…+ )的值为…（ ） （）-1 （）0 （） （）1 【分析】这是求无穷项的和，应先求前项的和再求极限=，∴原式==-1，故选。 3，无穷等比数列的公比，当||1时，各项的和及重要应用。例如（2004年上海，4）设等比数列（）的公比，且=，则 【分析】数列是首项为，公比是的等比数列，∴==，解得=2。 4，当且仅当时， ，时可有定义也可无定义。例如下列命题正确的是……………………………………………( ) ()若,则，若,则，若,则， (D)若,则。 【分析】()中无定义，（）中无定义，而(D) ，，故是正确的。 5，函数在处连续是指，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。 6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如在（，）处的导数存在吗？为什么？ 【分析】， ∴在（，）处的导数不存在。 7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。 8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。 【经典题例】 【例１】求下列数列的极限： （１）；（２）（）； （３）； （４）已知，数列{}满足，若{}的极限存在且大于零，求的值。 【例２】求下列函数的极限： （1） （2） （3） （4） 【例３】求下列函数的导函数： （１）＝；　 （２）＝； 　（３）＝；　　　　（４）已知＝，求。 【例４】设（），（+ ）。（Ⅰ）用和表示；（Ⅱ）当时， 求的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的取值范围。 【例５】过点（2，0），求与曲线相切的直线方程。 【例６】（2004全国卷二，22）已知函数 ，。 （Ⅰ）求函数的最大值； （Ⅱ）设，证明。 【例７】（2004广东卷，21）设函数=，其中常数为整数。 （Ⅰ）当为何值时，； （Ⅱ）定理：若函数在[]上连续，且与异号，则至少存在一点使。试用上述定理证明：当整数时，方程=0，在[]内有两个实根。 【例８】溶液自深18，顶直径12的圆锥形漏斗中漏入一直径为10的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满水，已知当溶液在漏斗中之深为12时，其水平下落的速度为1∕，问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少？ 【热身冲刺】 一、选择题： 1、下列数列极限为1的是…………………………………………………………（ ）； ； ； 。 2、已知，则常数的值为…………………………………（ ） （）