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微分方程 第六章 在科学研究、生产实践、经济管理等很多实际问题中，常常需要寻求某些变量之间的函数关系 含有未知函数及其导数的关系式, 即通常所说的微分方程 我们可以通过解微分方程得到所要求的函数关系。 — 积分问题 — 微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 第一节 引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 例2：以初速度 将质点垂直上抛 ，不计阻力， 求质点的运动规律 。 解 ： 如图取坐标系， 未知函数 应满足 设运动开始时质点位于 ， 在时刻t质点位于s 就是要找的运动规律 （1） 现在来求s与t之间的函数关系， 再两边积分，得 这里的C1，C2都是任意的常数。 把（4）式分别代入（2）（3)式， 得C2= ， （2） （3） 由题意知： t=0时， C1= （4） 对（1）式两边积分，得 于是有 含自变量、未知函数、及其导数的方程叫做微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 微分方程的基本概念 n 阶微分方程的一般形式为 的阶. 或 （方程中自变量及未知函数可以不出现，但未知函数的导数则必须出现。） 未知函数为一元函数的微分方程叫做常微分方程 . 例3 判断下列方程是否为微分方程 如 ：y =C1x+C2x+1 含有几个任意常数的表达式， 而使任意常数的个数减少,（两项相除不能得到常数） 则称这表达式中的几个任意常数相互独立。 因此 C1，C2是不独立的； 如果它们不能合并 所表示的函数族是相同的 如： C1，C2是独立的； 与 y =Cx+1 独立的任意常数 — 满足微分方程的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 — 确定通解中任意常数的条件. 一阶方程的初始条件 : 的阶数相同. 特解 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 初始条件 其图形称为积分曲线. 二阶方程的初始条件 : 微分方程 都是方程的解。 如： 通解: 特解: 如： 求 的特解 ----一阶微分方程的初值问题 例4 已知微分方程 试判断下列函数是否为方程的解？通解？ 例5. 验证函数 是微分方程 的通解, 的特解 . 解: 这说明 是方程的解 . 并求满足初始条件 代入微分方程： 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解. 利用初始条件易得: 故所求特解为 代入: 可得: 通解：