主次条件句逻辑.doc

PAGE PAGE 13 主次条件句逻辑 刘壮虎1 李小五2 (1. 北京大学哲学系，北京　100871；2. 中山大学逻辑与认知科学研究所，广东 广州 510275) 摘要：首先，我们分析了主次条件句的性质，建立了主次条件句的极小系统C2Lm，证明了一些有重要直观意义的内定理。其次，我们构造了一种邻域语义学，证明了C2Lm的可靠性,并据邻域语义学引进了一般的典范模型的概念，然后应用典范模型证明了C2Lm的完全性。最后，根据极小系统C2Lm的技术性结果，我们简单讨论了相关主次条件句的一些重要问题。 关键词：条件句逻辑；主次条件句；邻域语义学；典范模型；单调性 中国分类号: B81 文献标识码: A 条件句刻画条件和结果的联系。通常的条件句逻辑只刻画一个条件下的结果；当遇到多个条件时，将其合取起来成为一个条件。这种处理有时是不合适的，因为在得到结果时，这多个条件的作用可能是不同的，而将它们简单地合取在一起就有可能抹杀它们的差别。因此我们需要直接处理多个条件的条件句。 本文讨论两个条件有差别的一类条件句，这两个条件分为主要条件和次要条件，所以我们称这种条件句逻辑为主次条件句逻辑。 一、基本思想 同时考虑两个条件和一个结果，就需要用三元联接词≥。??≥?的直观意义是： (1) 从条件a和b得到结果g； (2) a是主要条件，b是次要条件。 注意(2)没有说a不是次要条件，b不是主要条件，所以可能同时有：b是主要条件，a是次要条件。因此≥刻画的是一种更为宽泛的双条件句。 但有了这种宽泛的双条件句，我们可以定义严格的区分主次的条件句。 (??≥?)??(??≥?) 就可以用来表示?是主要条件，?是次要条件的严格的条件句。 用这种宽泛的双条件句，我们还可以定义单条件的条件句。单条件的条件句?＞?可以用??≥?来定义。 条件(1)是说：从a和b得到g，但并不排除从单独的?或?也能得到?的情况，而且主要条件和次要条件的差别能在这种情况下得到体现。 如果两个条件能得到一个结果，其中一个条件可以单独得到此结果，而另一个条件不能单独得到此结果，则这不能单独得到此结果的条件不能是主要条件。 从这个基本假定可以得到：如果ab≥g成立，则?(a＞g)和b＞g不能同时成立，也就是说：如果ab≥g和b＞g都成立，则a＞g也一定成立。所以有以下公理： (ab≥g)?(b＞g)?(a＞g)。 但在ab≥g和a＞g同时成立的情况下，b＞g可以成立，也可以不成立。所以这公理的对称形式 (ab≥g)?(a＞g)? (b＞g) 不是公理。 满足这基本假设的主次条件句逻辑就是极小的主次条件句逻辑。当然，主次条件句也是条件句，所以它们还应满足条件句的性质。 按作者的看法[1]，＞成为蕴涵的最小要求是： (1) 保真性 a真且?＞?真，则g真，形式表示就是公理：a?(a＞g)?g。（这也可以形式表示为：(a＞g)?(a?g)。） (2) 完备性 如果在任何情况下，都能从a得到?，则?＞?成立。 在任何情况下，都能从a得到?，就是说a?g成立，所以完备性的形式表示是推演规则：从a?g得到?＞?。 条件句可以看作相对前提的必然句，?＞?可以看作□??。[2] 按作者的看法，必然算子的最小要求是： 单 调 性 从???得到□???□??。 合取原则 □?(???)?□???□??是公理[3]。 所以条件蕴涵的最小要求是： (3) 结果单调性 从???得到(?＞?)?(?＞?)。 (4) 结果合取原则 (?＞?)?(?＞?)?(?＞???)是公理。 从(2)可以得到a＞a，从a＞a和(3)能得到完备性。所以在条件句逻辑里，经常用公理?＞?，而不用推演规则：从a?g得到?＞?。 虽然条件句逻辑并不一定满足组合原则，但我们这里只讨论满足组合原则的条件句逻辑。组合原则在系统中体现为基本置换定理。古典联接词是满足组合原则的，由结果单调性，结果也能满足组合原则，所以只需加上条件的置换原则。 (5) 条件置换原则 从?1??2得到(?1＞?)?(?2＞?)。 我们需要将＞推广到≥，即(1)、(3)、(4)和(5)分别推广为： a?b?(ab≥g)?g是公理， 从???得到(?b≥?)?(?b≥?)， (?b≥?)?(?b≥?)?(?b≥???)是公理。 从?1??2和?1??2得到(?1b1≥?)?(?2b2≥?)。 ?＞?是公理的推广为：?b≥?是公理。注意?b≥?不是公理，这也体现了主要条件和次要条件的差异。 二、主次条件句逻辑的极小系统 主次条件句逻辑的形式语言是古典命题逻辑的形式语言（联结词取?和?）加上三元联接词≥。在公式的形成规则中加上： 如果?, ?, ?是公式，则??≥?也是公式。 全体公式的集合记为Form。 用通常的方式定义公式的置换?[?/?