乘法公式和整式的除法.doc

乘法公式和整式的除法 一、教学内容： 1、多项式与多项式相乘时常用到的两个公式：平方差公式、完全平方公式． 2、同底数幂的除法法则． 3、单项式除以单项式和多项式除以单项式． 二、知识要点： 1、平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 注意： （1）公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． （2）右边是左边因式中的两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． （3）公式中的a与b可以是单个的数，也可以是单项式或多项式． （4）只有对于形如两数的和与这两数的差相乘时，才可以用平方差公式． 2、完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的2倍． 注意： （1）（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2和（a－b）2＝a2－2ab＋b2都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． （2）公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的完全平方，二者仅一个“符号”的不同；右边都是二次三项式，当中有两项是公式左边二项中每一项的平方，第三项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅是一个“符号”的不同． （3）公式中的a与b可以是数，也可以是单项式或多项式． （4）在运用公式时要注意保持前后“符号”的一致性． 3、乘法公式和面积之间的关系 如图（1），（a＋b）（a－b）＝__________； 如图（2），（a＋b）2＝__________； 如图（3），（a－b）2＝__________． 4、同底数幂的除法的运算性质：am÷an＝am－n（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n）． 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 注意： （1）因为零不能作除数，所以底数不能为0． （2）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式． 5、零指数幂 因为am÷am＝1，又因为am÷am＝am－m＝a0．所以a0＝1．其中a≠0．即： 任何不等于0的数的零次幂都等于1． 6、单项式除以单项式 单项式相除：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．如：－4am2÷2m＝[（－4）÷2]·a·（m2÷m） 步骤： （1）把系数相除，所得结果作为商的系数． （2）把同底数幂相除，所得结果作为商的因式． （3）把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． 7、多项式除以单项式：（am＋bm）÷m＝am÷m＋bm÷m＝a＋b. 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．其实质就是把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算．计算时不要漏除，同时注意运算符号． 三、重点、难点： 重点是乘法公式和整式除法的运算法则，难点是在运算过程中如何准确的应用乘法公式． 【典型例题】 例1、（1）计算：（3a－2b）（3a＋2b）， （2）（2008年福建南平）先化简，再求值：（a＋b）（a－b）＋b（b－2），其中a＝－1，b＝1． 分析：（1）是两个数的和乘以两个数的差的形式．可直接应用公式写出结果．（2）的前一部分直接用平方差公式计算，再化简求值． 解：（1）（3a－2b）（3a＋2b）＝（3a）2－（2b）2＝9a2－4b2， （2）（a＋b）（a－b）＋b（b－2）＝a2－b2＋b2－2b＝a2－2b， 当a＝－1，b＝1时，原式＝a2－2b＝－1． 评析：利用平方差公式计算直接写出结果时，“平方”是一个整体的平方，不但字母要平方，系数也必须同时平方，要防止出现这样的错误：（3a＋2b）（3a－2b）＝3a2－2b2． 例2、计算：（1）（3a＋b）2；（2）（－x＋3y）2； （3）9992；（4）（b＋c）（－b－c）． 分析：此题可利用完全平方公式计算，（1）题是两数和的平方，应选用和的完全平方公式，其中3a是公式中的a，b是公式中的b；（2）题（－x＋3y）2＝（3y－x）2＝（x－3y）2；所以选用差的完全平方公式；（3）题关键是化成两数差的平方；（4）题中（－b－c）＝－（b＋c），原式＝－（b＋c）2． 解：（1）（3a＋b）2 ＝（3a）2＋2·3a·b＋b2 ＝9a2＋6ab＋b2 （2）（－x＋3y）2 ＝（3y－x）2 ＝（3y）2－2·3y·x＋x2 ＝9y2－6xy＋x2 （3）9992 ＝（1000－1）2 ＝10002－2×1000×1＋1 ＝1000000－2000＋1 ＝998001 （4）（b＋c）（－b－c） ＝－（b＋c）2 ＝－（b2＋2bc＋c2） ＝－b2－2bc－c2 评析：通过例题可以发现：当所给的二项式中两项符号相同时