例01已知如图.doc

例01．已知：如图，BD是的平分线，，P在BD上，，. 求证：. 分析：要证，可以证明点P在的平分线上. 证明：因为BD是的平分线， 所以. 在和中， 所以， 所以（全等三角形的对应角相等） 因为， 所以（角平分线上的点到角的两边距离相等） 说明 本题也可以在证明了后再证明. 但利用角平分线的性质定理来证明更简洁. 今后证明一定要注意灵活运用所学知识. 例02．已知：如图，PA、PC分别是外角和的角平分线，它们交于P. 求证：PB为的角平分线. 分析：要证BP为的角平分线，只须证点P到BM、BN距离相等，而PA、PC为外角平分线，故可过P作，，. 证明：过点P作，，于F. 因为PA、PC分别是和的平分线，且，， ∴，（角平分线上的点到角两边距离相等）. ∴. 又∵， ∴点P在的角平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上） ∴BP为的角平分线. 说明 当有角平分线这个条件时，常常经过角平分线上的点向角的两边作垂线，利用“角平分线上的点到角两边距离相等”来证题. 同样，要证明某射线是角平分线时，只要经过射线上一点向角的两边作垂线，再证垂线段相等. 本题不能只想到应用三角形全等来解决总是，防止形成思维误区. 例03．如图，已知：AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高. 求证：. 分析：因为AD为的角平分线，DE、DF是点D到AB、AC边上的距离，∴有. 再利用直角三角形全等可证明. 证明：AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高. ∴ （角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等） 在和中， ∴ ∴ （全等三角形的对应边相等） 说明：本题也可以用AAS来证明三角形全等，但直接使用角平分线的性质更简单. 例04．已知：如图，在中，，，AD是的平分线. 求证：. 分析：证明. 可用延长的方法或截取的方法，我们用截取的方法证明本题. 在AB上取一点E，使，则易证，由此 得到，，又由，得. 可证明本命题，那么利用角平分线的性质，作辅助线的时候，也可作于E，可直接得到. 证明：过D点作垂足为E. 则 ∵AD为角平分线， ∴（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等） 在和中， ， ∴ （全等三角形的对应边相等） ∵ （已知），（已知） ∴ 在中，，， ∴. ∴ ∵， ∴. 例05．已知：如图，在中，AD平分，于E，于F. 求证：. 分析：欲证：，就要证 所以考虑证 由题中条件可知、已有一边（公共边）一角对应相等，只要证即可，所以先证明 证明：∵AD是的平分线. ， ∴ （角平分线上的点到这个两边距离相等） 在和中 ∴ ∴（全等三角形的对应边相等） 在和中 ∴ ∴ （全等三角形对应角相等） ∴ ∴ （垂直定义） 例06．已知：如图，在中，BE、CF分别平分、，且交于点O， 求证：点O在的平分线上. 分析：要证点O在的平分线上，只需证明点O到的两边的距离相等，即证. 证明：过点O分别作三边的垂线OD、OG、OH， ∵，BO平分（已知） ∴（角平分线上的点到这个角两边的距离相等） 同理， ∴ ∴点O在的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上） 例07．写出下列命题的逆命题，并判断真假. （1）同位角相等，两直线平行. （2）如果，那么 （3）如果是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，三角形的三个外角只有两个钝角. （4）如果，那么，，. 分析：准确理解原命题、逆命题、真命题、假命题等概念，分清题设和结论，是写出逆命题的关键，对于假命题，可以举一个反例，全面地考虑问题. 解答：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是一个真命题. （2）逆命题是：如果，那它是一个假命题 ∵，∴或 （3）逆命题是：如果的三个外角中只有两个钝角，那么是直角三角形. 它是一个假命题，因为还可能是钝角三角形. （4）逆命题是：如果和中，，，，那么，这是一个假命题，因为有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形. 角的平分线 A A B C M N P 图1 例1、已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 分析：这是证明线段相等问题，由已知利用定理不难证明. 证明：（略） 说明：已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，证明它们相等必须标出它们，这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理。 EABCP E A B C P H G 图2 求证：P在∠A的平分线上 分析：要证结论成立，需要证明P到∠A两边的距离相等， 所以作PE⊥AB于E、PG⊥AC于G， 为证PE＝PG，考虑利用已知的两个角平分线， 自然应再作PH⊥BC于H，此时易于发现PE＝PH，PH＝PG. 证明：（略） 说明：解题关