例谈巧用圆锥曲线定义求最值问题.doc

数学例谈巧用圆锥曲线定义求最值问题 数学 罗南星 在求解有关圆锥曲线的最值问题时, 通常是利用函数的观点, 建立函数表达式进行求解。但是, 一味的强调函数观点, 有时会使思维陷入僵局。这时, 若能考虑用圆锥曲线的定义来求解, 问题就显得特别的简单。下面就列举一些例子加以说明。 例1、2008年福州市数学质检文科、理科的选择题第12题： 如图，M是以A、B为焦点的双曲线右支上任一点，若点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 分析：此题的得分率很低，用函数观点求解困难重重。若能利用双曲线的第一定义，则势如破竹。解法如下： 连结MA，由双曲线的第一定义可得： 当且仅当A、M、C三点共线时取得最小值。如果此题就到此为止，未免太可惜了！于是笔者进一步引导学生作如下的探究： （1）如果M点在左支上，则点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是多少？ （2）如果M是以A、B为焦点的椭圆上任一点，若点M到点与点B的距离之差为S，则S的最大值是多少？ （3）如果M是以A、B为焦点的椭圆上任一点，若点M到点与点B的距离之和为S，则S的取值范围是多少？ 分析：连结MA，由椭圆的第一定义可得： ，当且仅当A、M、C三点共线时取得最大、最小值，如上图所示。对于抛物线，也有类似的结论，由于较简单，在此就不一一列举了。 例2、2008年福建省高考数学试题选择题文科第12题、理科的第11题： 双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2, 若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A、(1,3) B、 C、(3,+) D、 分析：若能利用双曲线的第一定义，则迅速获解. 解法如下：不妨设|PF2|=m，则|PF1|=2m 故a=m, 由|PF1|+|PF2|≥| F1F2|可得, 故选B. 例3、如图，椭圆C的方程为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为－1的直线交椭圆于B点，点P（1，0）, 且BP∥y轴，△APB的面积为. （1）求椭圆C的方程；（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程. ABPxyO分析：同样, A B P x y O 简解：（1） 又∠PAB＝45°， AP＝PB，故AP＝BP＝3. ∵P（1,0），A（－2,0），B（1,－3） ∴　b=2，将B（1，－3）代入椭圆得： 得 ，所求椭圆方程为 （2）设椭圆C的焦点为F1，F2，则易知F1（0,－）F2（0，）， 直线的方程为：，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大， 只须｜｜MF1｜－｜MF2｜｜最大，设F1（0，－）关于直线的对称点为 （－2，－2），则直线与直线的交点为所求M， 因为的方程为：, 联立 得M（） 又=｜｜MF1｜-｜MF2｜｜=｜｜M｜－｜MF2｜｜ ＝＝2，故， 故所求双曲线方程为： 练习：已知两点M(-2, 0)，N(2, 0)，动点P(x, y)在y轴上的射影为H，是2和的等比中项.（1）求动点P的轨迹方程；（2）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程. 总之，在求解有关圆锥曲线的最值问题时, 若能根据题目的实际条件, 考虑用圆锥曲线的定义来求解, 就能起到出奇制胜的效果。总而言之，在教学过程中，不应轻易错过某一细节，如果能够对一些细节问题进行探究反思，就可以提高教学质量，从而提高学生的数学成绩。