6.4正态总体的置信区间().ppt

这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计. 说明 三、小结 * 第四节 正态总体的置信区间 一.单正态总体 N(?,?2) 的情况 二.双正态总体的情况（略） 三.小结 与其它总体相比， 正态总体参数的置信区间是最完 善的， 应用也最广泛. 在构造正态总体参数的置信 区间的过程中， 正态分布 扮演了重要角色. 本节介绍正态总体的置信区间， 讨论下列情形: 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 分布、 分布、 分布以及标准 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 单正态总体方差的置信区间; 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间; (1) (2) (3) (4) 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间. 双正态总体方差比的置信区间. (5) (6) 明确问题,是求什么参数的置信区间? 置信水平是多少？ ~N(0, 1) 选 的点估计为 寻找未知参数的 一个良好估计. 解： 寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知. 有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率. 1.单正态总体均值的置信区间（1） 设总体X~N(?,?2), ?2已知，?未知，设X1, X2,…, Xn是来自X的样本，求?的置信度为1- ?的置信区间。 一.单正态总体 N(?,?2) 的情况 对给定的置信水平 查标准正态分布表得 对于给定的置信水平(大概率),根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平. 使 从中解得 则?的一个置信度为1- ?的 置信区间为 说明： 标准正态分布具有对称性， 利用双侧分位数来 计算未知参数的置信度为 的置信区间， 间长度在的有这类区间中是最短的. 其区 当然希望区间长度越短越好，但区间长度短，n必须大，即需耗费代价高，故在实际问题中，要具体分析，适当掌握，不能走极端。 注意 (1) 区间长度 当?给定时，置信区间的长度与n有关. (2) 置信度为1- ?的置信区间并不唯一。 若概率密度函数的图形是单峰且对称,当n固定时，取两端对称的区间，其长度为最短。 结论 例1 某旅行社为调查当地旅游才的平均消费额, 机访问了100名旅游者, 得知平均消费额 元. 根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准 为95%置信区间. 解 对于给定的置信度 查标准正态分布表 将数据 随 元, 差 求该旅游者平均消费额 的置信度 代入 计算得 的置信度为95%的置 信区间为 即在已知 情形下, 可 77.6元至82.4元之间. 以 95% 的置信度认为每个旅游者的平均消费额在 自己动手 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 注意 如果X服从任意分布,只要n充分大,仍可用 作为总体均值?的置信区间 这是 因为由中心极限定理可知,无论X服从什么分布, 当 n充分大时,随机变量 近似服从标准正态分布。 给定置信度1-?, X1, X2,…, Xn是来自N(?,?2)的样本, 分别是样本均值和样本方差 1.均值?的置信区间 (1) ?2为已知, ?的置信度为1- ?的置信区间为 (2) ?2未知, ?的置信度为1- ?的置信区间为 2.单正态总体均值的置信区间（2） (2) ?2为未知 用样本方差 来代替?2 统计量 服从自由度为n-1的t分布 则?的置信度为1- ?的置信区间为 例2 某旅行社随机访问了25名旅游者, 得知平均消 费额 元, 子样标准差 元, 已知旅游者 消费额服从正态分布, 的置信区间. 解 对于给定的置信度 将 代入计算得 的置信度为95%的置信区间为 求旅游者平均消费 的95% 即在 未知情况下, 均消费额在75.05元至84.95元之间, 这个估计的可靠 度是95%. 估计每个旅游者的平 若?未知, 利用样本方差构造统计量 给定? , 先查?2分布的临界表 求得?12,?22使得 3.单正态总体方差的置信区间 给定置信度1-?, X1, X2,…, Xn是来自N(?,?2)的样本, 是样本方差 从而 则方差?2的置信度为1- ?的置信区间为 例3. 有一大批糖果，从中随机地取16袋，称得重量(以克计)如下： 508 499 503 504 510 497 512 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果得重量近似地服从正态分布，求 (1)正态总体均值?的置信度为0.95的置信区间。 (2)总体标准差?的置信度为0