函数,不等式恒成立问题解法(老师用).doc

PAGE PAGE 6 函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。 类型2：设 （1）当时，上恒成立， 上恒成立 （2）当时，上恒成立 上恒成立 类型3： 。 类型4： 恒成一、用一次函数的性质 对于一次函数有： 例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数有： （1）上恒成立； （2）上恒成立 例2：若不等式的解集是R，求m的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为20恒成立，满足题意； （2）时，只需，所以，。 三、利用函数的最值（或值域） （1）对任意x都成立； （2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。 解析：由 ，，恒成立，，即恒成立， 例4：（1）求使不等式恒成立的实数a的范围。 解析：由于函，显然函数有最大值，。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式恒成立的实数a的范围。 解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 例5：已知，求实数a的取值范围。 解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。 例6：若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 解析：由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。，故选D。 同步练习 1、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。 分析：如果时，恒有意义，则可转化为恒成立，即参数分离后，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。 解：如果时，恒有意义，对恒成立. 恒成立。 令，又则对恒成立，又在上为减函数，，。 2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。 分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。 解：是增函数对于任意恒成立 对于任意恒成立 对于任意恒成立，令，，所以原问题，又即 易求得。 已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。 方法一）分析：在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（xR）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。 解：原不等式 当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立 设则 ∴ 方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。 解：不等式a+cos2x5-4sinx可化为 a+1-2sin2x5-4sinx,令sinx=t,则t[-1,1], 不等式a+cos2x5-4sinx恒成立2t2-4t+4-a0,t[-1,1]恒成立。 设f(t)= 2t2-4t+4-a，显然f(x)在[-1，1]内单调递减，f(t)min=f(1)=2-a,2-a0a2 设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。 分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。 解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x[-1,+)，F(x) 0恒成立； ⅱ）当=4（a-1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件： -1oxy -1 o x y 得-3a-2; 综上所述：a的取值范围为[-3，1]。 5、、当x(1,2)时，不