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函数专题能力训练题 1．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解.A【解析】（排除法）当则得, 即在时恒成立, 而最大值,是当时出现,故的最大值为0, 则恒成立,排除B,C项,同理再验证时, 不成立,故排除D项. 2．定义在R上的函数f (x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f (x)=0在闭区[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为 (A)0 (B)1 (C)3 (D)5 解析：定义在R上的函数是奇函数，，又是周期函数，是它的一个正周期，∴，，∴，则可能为5，选D。 3．设是二次函数，若的值域是， 则的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】：C 【分析】：要的值域是，则又是二次函数， 定义域连续，故不可能同时结合选项只能选C. 4．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ D ） A． B． C． D． 5．已知函数 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 . 6．方程x2+ eq \r(2)x－1＝0的解可视为函数y＝x+ eq \r(2)的图像与函数y＝eq \f(1,x)的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,eq \f(4,xi))（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 (－∞, －6)∪(6,+∞); 7．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题： ①设是平面上的线性变换，，则 ②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； ③对，则是平面上的线性变换； ④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 【答案】①③④ 【解析】①：令，则故①是真命题 同理，④：令，则故④是真命题 ③：∵，则有 是线性变换，故③是真命题 ②：由，则有 ∵是单位向量，≠0，故②是假命题 【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 8．若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝ 9．已知集合其中，由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合的元素个数分别为. 若对于任意的，则称集合具有性质. （Ⅰ）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合写出相应的集合； （Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明：； （Ⅲ）判断的大小关系，并证明你的结论. （Ⅰ）解：集合不具有性质，具有性质，其相应的集合是 ； （Ⅱ）证明：首先由中的元素构成的有序实数对共有个，因为 , 又因为当， 所以当，于是集合中的元素的个数最多为 ，即. （Ⅲ）解：，证明如下： ①对于，根据定义 如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是 与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见 中的元素个数不多于中的元素个数，即； ②对于，根据定义 如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是 与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见 中的元素个数不多于中的元素个数，即. 由①②可知. 10．已知函数(x0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。 （1）试确定a,b的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间； （3）若对任意x0，不等式恒成立，求c的取值范围。 解：（I）由题意知，因此，从而． 又对求导得． 由题意，因此，解得． （II）由（I）知（），令，解得． 当时，，此时为减函数； 当时，，此时为增函数． 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为． （III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需． 即，从而， 解得或． 所以的取值范围为． 11．已知函数 （Ⅰ）若，试确定函数的单调区间； （Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围； （Ⅲ）设函数，求证：． 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分． 解：（Ⅰ）由得，所以． 由得，故的单调递增区间是， 由得，故的单调递减区间是． （Ⅱ）由可知是偶函数． 于是对任意成立等价于对任意成立． 由得． ①当时，． 此时在上单调递增． 故，符合题意． ②当时，． 当