函数图像及图像性质的应用.doc

高中数学复习专题系列讲座　　　 嵩明县第一中学 吴学伟 第 PAGE 6页 　共 NUMPAGES 6页　 函数图像及图像性质的应用 高考要求 函数的图像与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用 因此，考生要掌握绘制函数图像的一般方法，掌握函数图像变化的一般规律，能利用函数的图像研究函数的性质 重难点归纳 1 熟记基本函数的大致图像，掌握函数作图的基本方法 (1)描点法 列表、描点、连线；(2)图像变换法 平移变换、对称变换、伸缩变换等 2 高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像的 题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视 典型题例示范讲解 例1对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x), (1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称； (2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和 命题意图 本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题 知识依托 把证明图像对称问题转化到点的对称问题 错解分析 找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化 技巧与方法 数形结合、等价转化 (1)证明 设(x0,y0)是函数y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0), ∵=a,　∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称， 又f(a+x)=f(a－x), ∴f(2a－x0)=f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0 ∴(2a－x0,y0)也在函数的图像 故y=f(x)的图像关于直线x=a对称 (2)解 由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图像关于直线x=2对称， 若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根， 若x1是f(x)=0的根，则4－x1也是f(x)=0的根， ∴x0+(4－x0)+ x1+(4－x1)=8 即f(x)=0的四根之和为8 例2如图，点A、B、C都在函数y=的图像上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2 又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a) (1)求函数f(a)和g(a)的表达式； (2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论 命题意图 本题考查函数的解析式、函数图像、识图能力、图形的组合等 知识依托 充分借助图像信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口 错解分析 图形面积不会拆拼 技巧与方法 数形结合、等价转化 解 (1)连结AA′、BB′、CC′, 则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B =(A′A+C′C)=(), g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B= ∴f(a)g(a) 例3已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图，求b的范围 解法一 观察f(x)的图像，可知函数f(x)的图像过原点，即f(0)=0,得d=0, 又f(x)的图像过(1，0)，∴f(x)=a+b+c　　　① 又有f(－1)＜0,即－a+b－c＜0　　　　 ② ①+②得b＜0,故b的范围是(－∞,0) 解法二 如图f(0)=0有三根0,1,2， ∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax, ∴b=－3a ∵当x2时，f(x)0，从而有a0,∴b＜0 学生巩固练习 1 当a≠0时，y=ax+b和y=bax的图像只可能是( ) 2 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( ) 3 已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图像，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________ 三、解答题 4 如图，在函数y=lgx的图像上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m1) (1)若△ABC面积为S，求S=f(m); (2)判断S=f(m)的增减性 5 如图，函数y=|x|在x∈［－1,1］的图像上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m)是△ABC的BC边的中点 (1)写