函数方程不等式思想.doc

函数方程不等式思想 衡阳县一中 马中平 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 一．巧用函数思想证明不等式 1、利用函数的单调性 例1、求证：≤ （a、b∈R） 分析：本题若直接运用比较法或放缩法，很难寻其线索。若考虑构造函数，运用函数的单调性证明，问题将迎刃而解。 证明：令 f（x）=，可证得f（x）在[0，∞)上是增函数（证略） 而 0∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣ 得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣） 即： ≤ 说明：要证明函数f(x)是增函数还是减函数，若用定义来证明，则证明过程是用比较法证明f(x1)与f(x2)的大小关系；反过来，证明不等式又可以利用函数的单调性。 例2、解不等式 分析：本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较烦。但注意到且题中出现 , 启示我们构造函数f(x)=x3+5x去投石问路。 解：将原不等式化为，令f(x)=x3+5x，则不等式变为，∵f(x)=x3+5x在R上为增函数∴原不等式等价于，解之得：－1＜x＜2或x＜－2。 2、利用函数的值域 例3、若x为任意实数，求证：—≤≤ 分析：本题可以直接使用分析法或比较法证明，但过程较繁。联想到函数的值域，于是构造函数f（x）= ，从而只需证明f(x)的值域为[—，]即可。 证明：设 y= ， 则yx2-x+y=0 ∵x为任意实数 ∴上式中Δ≥0，即（-1）2-4y2≥0 ∴y2≤ 得：—≤y≤ ∴—≤≤ 说明：应用判别式说明不等式，应特别注意函数的定义域。 评述：利用三角函数中的万能正弦公式及正弦函数的有界性更简单。 3、运用函数的奇偶性 例4、证明不等式： (x≠0) 证明：设f（x）=- (x≠0) ∵f（-x）=- = + =[1-(1-2x)]+ =-x+= f(x) ∴f(x)的图象关于y轴对称 ∵当x0时，1-2x0 ，故f(x)0 当x0时，根据图象的对称性知f(x)0 故当 x≠0时,恒有f(x)0 即： (x≠0) 小结：本题运用了比较法，实质是根据函数的奇偶性来证明的，本题也可以运用分类讨论思想。但利用偶函数的轴对称性和奇函数的中心对称性，常能使所求解的问题避免复杂的讨论。 4、运用二次函数的性质 例5、设а、β、γ为任意三角形的三个内角，求证： x2+y2+z2 ≥2xycosа+2yzcosβ+2zxcosγ对于任意实数x、y、z总成立。 分析：运用函数思想，可构造函数 f(x)=x2-2x(ycosа+ zcosγ)+y2+z2-2yzcosβ≥0 这只需证明f(x)的图象不在x轴下方即可。 证明：令f(x)=x2-2x(yc