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第6章 数学规划模型 在一系列客观或主观限制条件下，寻求使关注的某个或多个指标达到最大（或最小）的决策。 例如：运输方案要在满足物资需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低；生产计划要按照产品工艺流程和顾客需求，制定原料、零件、部件等订购、投产的日程和数量，尽量降低成本使利润最高。 上述这些决策问题通常称为优化问题 。 虽然最优化可以追溯到十分古老的极值问题，然而，它成为一门独立的学科是在上世纪40年代末，是在1947年Dantzing提出求解一般线性规划问题的单纯型法之后。 问题驱动：高等教育收费 学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。 学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。据中国国情，利用数学建模的方法，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。 问题背景分析 要确保有良好的高等教育质量，必须有相应的经费保障。高等教育的学费问题涉及到每一个大学生及其家庭。根据相关规定，高等教育属于非义务教育，其成本主要是根据高等教育收益分享情况进行分摊，即遵循“谁收益、谁负担”的原则。基于此理论，我国于1993年试行并轨招生，缴费上学制度开始在部分高校试行。到1997年，全国高校全部并轨收费。然而，自高等教育实行收费政策以来，收费标准出现了逐步攀升的情况，以至于学费水平在一定程度上成了人们关注的社会问题，也成为人们争议的社会焦点。 高等教育的经费主要由政府拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成，其中由受教育者及其家庭所承担的学费是本文主要的讨论对象。目前学费收入已成为高等学校办学经费的主要来源之一，也已成为维系学生与学校经济关系的主要纽带。 目标分析 高等教育收费要满足如下几个需求因素： 目标1：培养质量指标（师资力量、教育设备、教学氛围）； 目标2：学生就读指标； 目标3：办学收益指标（办学获利）； 目标4：学生收益指标。 这是一个多因素的问题，多因素分析的方法有很多，解决高等教育收费问题的方法也有很多，但是结合实际，主要考虑制定最合理的学费价格和生均奖贷助学金。 而“最”在数学上通常就是我们所说的优化问题。 6.1规划模型简介 模型分类 在很多实际问题中，所能够提供的决策变量取值受到很多因素的制约，这样就产生了一般的优化模型，统称为数学规划模型。按照数学规划模型的具体特征可以将数学规划分为：线性规划，非线性规划，整数规划，多目标规划，目标规划等。 规划问题结构（三要素） 1、决策变量，通常是该问题要求解的那些未知量； 2、目标函数，通常是该问题要优化（最小或最大）的那个目标的数学表达式； 3、约束条件，由该问题对决策变量的限制条件给出，即允许取值的范围，称为可行域，常用一组关于的不等式（也可以有等式）来界定 。 规划模型的一般形式 规划模型的分类 1、在模型中若目标函数和约束条件中的函数均为线性函数 ，则称为线性规划（简记为LP），否则就称为非线性规划（简记为NLP）。 2、规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划（简记为IP）。 3、若整数规划模型中的决策变量只能取0或1，则称模型为0-1规划 。 如不加特殊说明，整数规划一般指整数线性规划 例1 s.t. 例2 s.t. 6．2数学规划模型实例及求解 1、线性规划问题数学模型 例2.1 加工奶制品的生产计划 一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1 ，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2 。根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大。 决策变量 设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2 目标函数