第7章系统预测(4马尔可夫预测)ppt课件.pptVIP

7.6 马尔可夫(Markov)预测 马尔可夫(Markov)预测 不需要大量的历史资料，而只需要对近期状况作详细分析。 可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测，分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考 马尔可夫(A. A. Markov) 俄国数学家 又译：马尔科夫、马尔柯夫 20世纪初，研究中发现自然界一类事物的变化过程仅与近期状态有关，与事物的过去状态无关 一、Markov预测原理 1、基本概念 状态与状态转换 若对研究对象考虑一系列随机试验，其中每次试验的结果如果出现在有限个两两互斥的事件集 E={E1,E2,…,En} 中，且仅出现其中一个，则称事件Ei∈E为系统的状态。若事件Ei出现，则称系统处在状态Ei。 状态是研究对象随机试验样本空间的一个划分，系统可能在不同状态之间相互转换。 说明： 为了与P167状态的标记一致，前面的说法可改为： 若事件Ei出现，则称系统处在状态Si。 许多教材是用E 一、Markov预测原理 1、基本概念 Markov过程 现实中有这样一类随机过程，在系统状态转移过程中，系统将来的状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。 这种性质叫做无后效性，符合这种性质的状态转移过程，叫作马尔可夫过程。 一、Markov预测原理 过程在时刻tm所处的状态为已知时， 过程在时刻t (t tm)所处的状态的概率特性只与过程在时刻tm所处的状态有关，而与过程在时刻tm以前的状态无关。 无后效性 无后效性例子-1 一、Markov预测原理 无后效性例子-2 某地区每年的气候按照一定指标可分为旱、涝两种状态 根据多年的统计可形成一个以年为时间单位，每时间只出现旱、涝两态之一的时间离散、状态离散的随机时间序列 无后效性 无后效性例子-3： 电话交换站在t时刻前到来的呼唤数（即时间[0，t]内到来的呼唤数）。 无后效性 无后效性例子-3：布朗(Brown)运动。 一、Markov预测原理 1、基本概念 马尔可夫链 时间离散、状态离散的马尔可夫过程 例1、例2 马尔可夫链的定义 设随机序列{X(n),n=0,1,2,…}的离散状态空间为E={E0,E1, E2,…,En}。若对于任意m个非负整数n1, n2，… nm 和任意自然数k，以及任意的 ，满足 马尔可夫链的定义 马尔可夫链 例1：出租公司车站租、还车一步转移概率。 2、状态转移概率矩阵 设系统共有N个状态，记作S1，S2，…，SN，则用状态向量［S1，S2，…,SN］T表示。设在tn-1时刻系统处在Si状态之下，tn时刻系统状态变为Sj，则称在第n次状态转移中，系统由状态Si转移到Sj，且这种状态转移的概率记为 p{xn=Sj|xn-1=Si} pij (i,j=1,…,N；n=1,2,…) 这里pij与n无关，只与i,j有关，即只与转移前后的状态有关，称为马尔可夫链的一步转移概率。 一步转移概率矩阵 如果系统有N个状态，则一步转移概率矩阵如下： 转移概率矩阵的特点 写出一步转移概率矩阵-1 伯努利实验，每次成功的概率为p，失败的概率为q；各次实验相互独立。成功用状态“1”表示，失败用状态“2”表示。第n次实验的结果记为X(n)。 X(n)符合无后效性特点，故为马尔可夫链。 一步转移概率矩阵 写出一步转移概率矩阵-1 天气预报问题 如果明天是否有雨仅与今天的天气（是否有雨）相关，而与过去的天气无关。设今天下雨、明天有雨的概率为α，今天无雨、明天下雨的概率为β；假定把有雨称为0状态天气，无雨称为1状态天气。则本问题是一个两状态的马尔可夫链。 一步转移概率矩阵？ 一步转移概率矩阵 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(Chapman-Kolmogorov) 马尔可夫链的转移概率之间有下列关系：设 概率矩阵的特点-2 正规概率矩阵 若存在m为正整数，概率矩阵P的m次幂Pm的所有元素皆为正，则P称为正规概率矩阵。 定义 固定概率向量 当任一非零向量u=(u1 u2 … un)左乘某n×n方阵A，其结果仍为u，即uA=u时，u为A的固定向量 正规概率矩阵的性质-1 正规概率矩阵P有一个固定概率向量u，且u的元素皆为正，此向量叫做特征向量。 正规概率矩阵的性质-2 正规概率矩阵P的各次幂序列P，P2，P3，…将趋向于方阵U，且U的每一行均为其固定概率向量u 正规概率矩阵的性质-3 若F为任一概率向量，则向量序列FP，FP2，FP3，