第一章 典型方程和定解条件的推导ppt课件.pptVIP

二维热传导方程 ―维热传导方程 三维热传导方程 1.1 基本方程的建立 在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量为 , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导方程 类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的侧面绝热, 可以得到二维热传导方程 1.1 基本方程的建立 当我们考察气体的扩散,液体的渗透, 半导体材料中的杂质扩散等物理过程时, 若用 表示所扩散物质的浓度, 则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同. 所以热传导方程也叫扩散方程. 1.1 基本方程的建立 波动方程 　— 声波、电磁波、杆的振动； 热传导方程 — 物质扩散时的浓度变化规律, 长海峡中潮汐波的运动， 土壤力学中的渗透方程; Laplace方程 — 稳定的浓度分布, 静电场的 电位, 流体的势. 总 结： 1.1 基本方程的建立 一维齐次波方程： 一维齐次热方程： 二维Laplace方程： 1.1 基本方程的建立 2.2 初始条件与边界条件 ?一 . 初始条件及Cauchy问题 描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始条件， 初值条件与对应方程加在一起构成初值问题 (或称Cauchy问题）。 2.2 初始条件与边界条件 初始位移、初始速度分别为 ,称 波动方程的初值条件. 弦振动问题 热传导方程 称为热传导方程的初值条件. 2.2 初始条件与边界条件 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非 系统中个别点的初始状态。 2.2 初始条件与边界条件 例.长为 l 两端固定的弦，初始时刻将弦的中点拉起 h ( ) ( ) x u 0 l h 正确写法 2.2 初始条件与边界条件 （I）第一类边界条件 * （II）第二类边界条件 （III）第三类边界条件 二. 边界条件 描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边界条件. 2.2 初始条件与边界条件 例1.长为l的弦，一端固定，一端以 sint 规律运动 第一类边界条件 例2.长为l的杆，一端温度为0，一端温度为 ξ (t ) 2.2 初始条件与边界条件 弦振动问题：弦的一端（如 x = l）可以在垂直 x 轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为“自由端”。 第二类边界条件 在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的分量为0，因此在方程的推导中知 , 即 2.2 初始条件与边界条件 当该点处的张力沿垂直x 轴的方向的分量是 t 的已知函数 时，有 * 2.2 初始条件与边界条件 热传导问题：如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导过程可知，有边界条件 当物体与外界接触的表面 S 上各单位面积在单位时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在 S 上有 ，这表明温度沿外法线方向的方 向导数是已知的，故边界条件可以表示为 * 2.2 初始条件与边界条件 第三类边界条件 例 (1) 弦的振动（端点弹性连结） 弹性力 张力 2.2 初始条件与边界条件 (2) 热传导问题（端点自由冷却） 散失的热量 内部流到边界的热量 即 2.2 初始条件与边界条件 2.3 定解问题 弦振动的Cauchy问题 只包含初值条件的定解问题称为初边值问题（Cauchy 问题） 2.3 定解问题 包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题) 热传导方程的混合问题 2.3 定解问题 波动方程的混合问题 只附加边界条件的定解问题称为边值问题. 初值条件、边界条件统称为定解条件 . 初值问题、边值问题、混合问题统称为定解问题. 2.3 定解问题 一般线性二阶偏微分方程（n个自变量） 两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式 ………? 2.3 定解问题 线性方程的叠加原理 称形如 的符号为微分算子。 2.3 定解问题 如 二阶偏微分方程 可简写为 2.3 定解问题 2.3 定解问题 例 非齐次波动方程的C