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第二章 控制系统的数学模型 § 2-1 控制系统的时域数学模型 § 2-2 控制系统的复数域数学模型 § 2-3 控制系统的结构图与信号流图 常用的数学模型： 微分方程 传递函数 方框图 差分方程 状态方程 § 2-1 控制系统的时域数学模型 能用线性微分方程描述的系统叫线性系统。 一般通式： a0y(n) + a1y(n-1) + … + any = b0x(m) + b1x(m-1 )+ … + bmx (y是输出，x是输入) 例１： 列写系统微分方程的一般步骤 确定输入量、输出量。 按信号传递顺序，依各变量遵循的物理规律，列出在变化过程中各个动态微分方程。 消去中间变量。 整理：将输出量放在左边，按导数降阶排列。 § 2-2 控制系统的复数域数学模型 1. 数学基础:拉普拉斯变换 常用拉氏变换 几点说明： 传递函数表明系统本身的特性，与输出输入量无关； 如果G(s)分母S的最高阶数为n，称为n阶系统； p1、 p2、……pn——传递函数的极点； z1、z2、……zm——传递函数的零点； 与微分方程相比，更为简单。 § 2-3 控制系统的结构图与信号流图 定义：系统中每个元件的功能和信号流向的图解表示 1.闭环系统的方框图 组成要素： 线条、箭头、方块、 综合点、分支点 2.方框图的画法 (2)将每个元件的传递函数用方框图表示出来 R元件: (3)将方框图依次联接 I(s) 例1： 例2：卫星姿态控制系统 图 3.典型环节 (1) 比例环节 G(s)=K (6) 滞后环节： G(s)= e-гs г：时间常数 4.方框图的等效变化 串联结构的变换 并联结构的变换 反馈结构的变换 综合点移动 分支点移动 梅逊公式 有干扰作用的系统传递函数 (1) 串联结构的变换 (2) 并联结构的变换 (3) 反馈结构的变换 (4) 综合点移动 后 移 前 移 互 移 后移： 前移： 互移： (5)分支点移动 后移 前移 互移 后移： 前移： 互移： (6)梅逊公式 前向通道的等效传递函数 1 ± Σ 每一回路的开环传递函数± Σ两两不交叉的回路的开 环传递函数 (7) 有干扰作用的系统传递函数 运用叠加原理：C(s)＝C(s)+C(s) + × G + × G 1/G + + × × + + X1 X2 × × + + X2 X1 + G 1/G + G + G + G G + X1 X2 + + X2 X1 + 例. 化简下列方块图。 — — — × G3 G4 G2 × R(s) × G1 H1 C(s) H2 H3 分析：通过移动，目的消除交叉连接 1/G4 方法：分支点后移……等 — — — × G3 G4 G2 × R(s) × G1 H1 C(s) H2 H3 Φ(s)= — — — × G3 G4 G2 × R(s) × G1 H1 C(s) H2 H3 R(s)单独作用时： C(s)＝ Φ(s)R(s)= G1G2 /[1+ G1G2H] *R(s) N(s)单独作用时： C(s)＝ G2 /[1+ G1G2H] *N(s) C(s)＝C(s)+C(s) ＝ G1G2 R(s)+ G2 N(s)/ [1+ G1G2H] — + R(s) × G1 H C(s) G2 × N(s) * * 定义：描述系统在运动过程中各物理量之 间的相互关系的数学表达式。 建立方法：解析法（白 箱） 实验法（黑箱） 线性连续系统 离散系统 现代理论 ur=uc+iR i=Cduc/dt RCduc/dt + uc = ur C R ur uc 例2 ： ∑Ｆ＝ma; 重力mg忽略; 阻尼器摩擦力与x成正比 k F(t) x m 阻尼器 活塞 f M Ua n ia ea 电路方程 ea=Ce ω---------电枢反电动势 力方程 M----电磁力矩，ML----负载力矩 f-----摩擦系数，J----转动惯量 力电联系：M=Cmia 例3： 它励直流电动机 BACK 1. 数学基础:拉普拉斯变换 2. 传递函数的定义和性质 定义：F(s)=L[f(t)]=∫0∞f(t)e-stdt S-----拉氏算子 L[f