第二章 现代谱分析.pptVIP

用矩阵表示 参数矩阵A的最小二乘估计为 特点：算法简单，估计精度高，但计算量(次数)与Np2成正比。模型阶数p增高时，运算量急剧增加。 ⑵基于自相关系数的最小二乘法 对 两边乘以 x(n-k) 并取均值，得: E[u(n)x(n-k)]=0 令 有 分别令k=1,2,…,m,并注意 R(-k)=R(k)=ρ(-k)= ρ(k) 可得线性方程组: 写成矩阵形式： A同前，用最小二乘法： ---- 不是由数据{x(n)}构成，而是由自相关系数 构成 主要特点： 不易出病态，即矩阵中元素的绝对值可能相差悬殊。 {x(n)}多次使用?ρ (k),信息提取充分，数据利用率高。 若上述方法中，取k=1,2,…p，即方程个数等于参数个数，则 ρ=TA ---------- Yale-Walker方程 T为p阶方阵，称为Toeplitz矩阵 可方便求出A: 特点：算法简单，运算量小，但是精度低 ⑶模型的适用性检验 从理论上来说，ARMA模型成立的根本条件是{μ(n)}为白噪声。 模型适用性的最根本的检验准则： 检验{μ(n)}是否为白噪声 实际检验中，往往得到的不是真值，只是估计值，与真值偏离往往很大，影响准确性，因此在实际应用中发展了一系列准则以检验模型的适用性。 ①自相关系数准则 计算{μ(n)}的自相关系数： 满足上式，模型适合 -------- 白噪声准则 ②残差平方和检验准则 比较， 的变化大小来判断模型是否合适。 ③信息准则 ⅰ) ⅱ) 最小值 对应的 ⅲ) p 三、其他形式的谱分析 1、最大熵谱(Maximum Entropy Spectrum) 最大熵谱是Burg与1967年提出 熵的概念 最大熵谱估计 与AR谱关系 设信源是由属于集合X={x1,x2,……xM}的M个事件所组成。 信源产生事件xj的概率为P(xj),则 定义在集合X中事件xj的信息量为: （单位nat） 定义整个信源M个事件的平均信息量为： 则称H(X)为信源X的熵 熵的下界 ----- 对应于没有任何不确定性 上界 ------对应于最大的不确定性 若信源X是一个连续随机变量，其概率密度p(x)是连续函数。则熵定义为： 与信源X熵的定义类似， 定义随机信号X的功率谱 的熵为： 可以证明H(x)正比于 ， 达到最大=== H(x)最大 使 达到最大的功率谱就称为最大熵谱 Burg的最大熵谱法： 求功率谱 ，使 在约束条件： 下，利于Lagrange乘子法，使 最大。 得到最大熵功率谱 ，即： 式中 , a1, a2,……, ap 就是AR(p)模型参数 上式表示：AR谱就是最大熵谱（对于高斯随机信号） 2、最大似然谱 也称Capon谱，由Capon与1969年提出 基本思想：设计一组(理论上的无穷多个)窄带滤波器，每个滤波器只允许某单个频率的谐波分量通过，阻止其它频率分量通过，然后计算该频率输出信号的方差(即功率)，以此作为功率谱密度在该频率的估计值。 窄带滤波器组 在最小方差条件下求出ak----- 窄带滤波器系数 可以证明，最大似然谱与AR谱的关系为 上式的意义是，p阶最大似然谱的倒数是从0阶与p阶所有AR谱倒数的和。由于倒数和相当于一个平均，因此MV谱的分辨率小于AR谱。 3、非有理式谱分析方法 对于正弦随机信号，其谱密度出数为线谱，不具有有理式的形式，不能用前面讨论的方法进行分析。非有理谱分析的主要方法有： Pisarenko 谐波分析法 Prony 法 MUSIC 法 第二章 现代谱分析 本章主要内容 一、概述 二、ARMA谱分析(Auto-Regressive Moving Average Model)– 自回归滑动平均模型 1 ARMA模型 2 ARMA模型的功率谱估计 3 AR模型谱的性质 4 AR模型的建立 本章主要内容 三、其他形式谱分析 1 最大熵谱 2 最大似然谱 3 特征分解法 直接法（周期图法） 经典谱分析 主要缺点：分辨率低，方差性