第四章相似矩阵与矩阵对角化ppt课件.pptVIP

Ch4、相似矩阵与矩阵对角化 §1、矩阵的特征值与特征向量 定义1：若数 、n维非零列向量x与n阶方阵A满足 ，则称 为A的特征值，x为A的对应于特征值 的特征向量。 将 改写为 ，其有非零解 系数行列式 ，即 此方程称为A的特征方程，左端的多项式 称为A的特征多项式，解特征方程即得n个特征值。 设 为某一特征值，则由 可得非零解 ， 即为A对应于特征值 的特征向量。 参考题1、求 的特征值与特征向量。 解： 故 。 时， ，令 ，得 ， ， 故对应于 的全部特征向量为 。 时， ，令 ，得 ， ，故对应于 的全部特征 向量为 不同时为0) 。 定理1：设矩阵 的特征值为 ，则 (1) ； (2) 。 推论：可逆矩阵的特征值均不为零。 参考题2、(1)若 ，证明：A的特征值只能是 ；(2)若可逆阵A的特征值为 ，证明： 的特征值为 。 证：设 、x分别是A的特征值、特征向 量，即 。 (1) ，又 ，故 ， 。 (2)因A可逆，故 ，从而 , 即A的特征值为 。 定理2：设 、 ( )分别为A的特征值、特征向量，若 互不相等，则 线性无关。 参考题3、设 和 分别是A的特征值和 特征向量，且 ，证明： 不是A的特征向量。 证：由题意知， 。 假设 是A的特征向量，对应的特征值为 ，即 。 因为 ，故 线性无关，从而由(*)式得 ，即 ，与题设矛盾，故 不是A的特征向量。 §2、相似矩阵与矩阵对角化 定义2：对方阵 A, B，如有可逆阵P，使 ，则称A与B相似，P称为将A变为B的相似变换矩阵。 定理3：相似矩阵的行列式相等。 证：设A与B相似，即有P，使 则 。 定理4：相似矩阵有相同的特征多项式、 特征值。 证：设A与B相似，即有P，使 ，则 即A与B相同的特征多项式，从而有相同的特征值。