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以弹簧振子为例 谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep 某一时刻，谐振子速度为v，位移为x 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数 四 .简谐振动的能量 动能 势能 情况同动能。 机械能 简谐振动系统机械能守恒 x t T E Ep o E t Ek (1/2)kA2 由起始能量求振幅 弹簧振子的总能量决定于劲度系数和振幅 例1 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。 解：方法1 设振动方程为 故振动方程为 方法2： 用旋转矢量法辅助求解。 v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位 由图知 例2 一物体沿X 轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向 X 轴正向运动。求:(1)简谐振动表达式;(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x =-0.06m向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。 解: (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为： 其中A=0.12m, T=2s, 初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得 据初始条件 得 (2) 由(1)求得的简谐振动表达式得: 在t =T/4=0.5s时，从前面所列的表达式可得 (3) 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得 因该时刻速度为负，应舍去 ， 设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是 因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间： 另解：从t1时刻到t2时刻所对应的相差为： 第一章 机械振动 教学重点： 1、理解简谐振动的动力学特征 2、掌握振幅和初相位的确定及振动方程的建立方法 3、旋转矢量法 4、理解简谐振动的能量特征 广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近周期性变化。 机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。 对力学系统来讲，振动的形式就是机械振动。 振动分类 非线性振动 线性振动 受迫振动 自由振动 复杂振动 = ? 简谐振动 最简单最基本的线性振动。 简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x（或角位移?）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。 第一节 简谐振动 一、简谐振动的动力学特征 平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于0，则此位置称为平衡位置。 简谐振动是最简单最基本的线性振动。 从动力学观点看： 简谐振动：质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。 此为从动力学的观点定义的简谐振动。 线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则称此作用力为线性回复力。 若以平衡位置为原点，以X表示质点相对于平衡 位置的位移，则 一、弹簧振子模型 弹簧振子：弹簧—物体系统 平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置 轻弹簧—质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体—可看作质点 问：弹簧振子是否在做简谐振动？ 简谐振动 微分方程 简谐振动的另一种普遍定义： 若质点的运动学方程可以归纳为： 其中 为决定于系统本身固有性质，则质点做简谐振动。 其通解为： 一、简谐振动的运动学方程 二 简谐振动的运动学特征 简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程 二、描述简谐振动的特征量 1、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。 如何由初始条件求振幅： 频率?：单位时间内振动的次数。 2、周期 、频率、圆频率 角频率? 周期T ：物体完成一次全振动所需时间。 ?0 是t =0时刻的位相—初位相 3、相位和初相位 —相位，决定谐振动物体的运动状态 三式中任选两式可以决定初相位。 若已知初始条件： 相位差 两振动相位之差。 当??=2k? ,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相 当??=?(2k+1)? , k=0,±1,±2... 两振动步调相反,称反相 ?2 超前于?1 或 ?1滞后于 ?2 相位差反映了两个振动不同程度的参差错落 谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系 t o T a ?v x T/4 T/4 总结： 1、简谐振动是周期性运动 2、简谐振动各瞬时的运动状态由 决定。 3、简谐振动的频率由振动系统本身固有的性质决定。而 不仅决定于系统本身的性质，还决定于初始条件。 三、简谐振动的表示法 1、解析表示法 利用余弦函数或正弦函数表示简谐振动。 优缺点。 2、复数表示法