蒙特卡罗模拟8.pptVIP

蒙特卡罗模拟 一. 蒙特卡罗法计算定积分 二. 蒙特卡罗模拟试验次数的确定 例7.3.2 核反应堆屏蔽层设计问题 * * 蒙特卡罗(Monte－Carlo)模拟，又称蒙特卡罗方法、统计试验法等. M－C模拟是静态模拟，描述特定时间点上的系统行为. 模拟过程中不出现时间参数。 基本思想:把随机事件 （变量）的概率特征与 数学分析的解联系起来. 概率特征：随机事件的概率和随机变量的 数学期望等. 用试验方法确定 例7.3.1 用M－C 模拟求圆周率π的估计值. 1 1 0 设二维随机变量 (X, Y)在正方形内 服从均匀分布. (X, Y)落在圆内的概率为: 计算机上做n 次掷点试验： 产生n 对二维随机点(xi，yi) ，i＝1 ,2, …, n . xi 和yi 是RND 随机数对. 检查每对随机数是否满足: 相当于第i个随机点落在1/4圆内. 若有k 个点落在l／4圆内 随机事件“点落入1/4圆内”的 频率为 k/n 根据概率论中的大数定律, 事件发生的频率 依概率收敛于事件发生的概率p，即有 得圆周率π的估计值为 且当试验次数足够大时, 其精度也随之提高. 分析：实际上概率值为 恰为1/4圆的面积 频率法： 利用随机变量落进指定区域内的频率来计算定积分. 平均值法： 利用随机变量的平均值(数学期望) 来计算定积分. 平均值法的算法如下： 产生RND 随机数：r1，r2，…，rn； （2）令 ui=a＋(b－a)ri，i=1，2，…，n； （3）计算 作为I 的估计值. 原理分析： 设随机变量ζ1，ζ2，…，ζn相互独立， 且ζi～U(0,1) {f(ξi)}，i=1，2，…，n 相互独立同分布 由(强)大数定律知 以概率为1 成立 当n 足够大时，得近似公式： 注： 平均值法本质上是用样本平均值作为 总体教学期望的估计。 M－C 模拟是一种试验近似方法 , 试验次数如何确定？ ？ 希望：模拟次数较少、 模拟精度较高 频率法的讨论 用事件A出现的频率作为概率p 的估计: 问题：试验次数 n 多大时，对给定的置信度1－α（0α1），估计精度达到ε. 即问：取多大的n 使 成立？ 证明 频率法是事件A出现的频率作为概率p的估计 答案： 其中, zα是正态分布的临界值. n次独立试验中A出现的次数kn～B(n, p).由中 心极限定理知 平均值法 在给定α和ε下所需的试验次数 的估计式为 查得正态分布的临界值zα,可解得 试验次数估计式的分析 为估计概率p做模拟,却又需要用p去估计模拟次数n. 如何计算S2 ？ 解决方法：先做n0 次模拟（称为学习样本)，根据学习样本. （1）先求出p的估计，再估计模拟次数n : （2）计算出的样本方差S2 ,用来估计n. 2. M －C模拟的估计精度ε与试验次数n的平 方根成反比, 若精度ε提高10倍,则试验次数n 要增大100倍. P197表8.2中列出了置信度为0.95 时, 在不同 精度ε及概率p条件下频率法所需试验次数。 对该表进行分析，能得到什么结论？ 1. 精度提高，试验次数大幅提高； 2. 事件发生概率越接近0.5，试验次数越高； 核反应堆屏蔽层是用一定厚度的铅包围反应 堆，用以阻挡或减弱反应堆发出的各种射线. 在各种射线中, 中子对人体伤害极大，因此， 在屏蔽层的设计中, 了解中子穿透屏蔽层的概 率对反应堆的安全运行至关重要. 1.问题背景 假定屏蔽层是理想的均匀平板 一个中子进入屏蔽层后运动的物理过程:中 子以初速度v0和方向角α射入屏蔽层,运动一 段距离后与铅核发生碰撞，中子获得新的速度 及方向(v1,θ1). 再游动一段距离后,与铅核发生 第二次碰撞,并获得新的状态(v2,θ2),如此等等, 经过若干次碰撞后,出现下述情况之一时中子 终止运动过程 三种状态 1）中子被弹回反应堆； 为使屏蔽层的厚度达到安全设计要求,在计 算机上对中子在屏蔽层的运动过程进行模拟 2）中子穿透屏蔽层； 3）第n次碰撞后,中子被屏蔽层吸收. D 返回 穿透 吸收 阐述中子的运动， 为模拟做理论准备 2. 简化假设： *1 假定屏蔽层平行板厚度为D=3d，其中d 为两次碰撞之间中子的平均游动距离； *2 假设在第10 次碰撞以后，中子速度下降 到为某一很小数值而终止运动（被引收）. 因每次碰撞后, 中子因损失一部分能量而速度下降. *4