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第一章 行列式 §1.1 二阶、三阶行列式 一、二阶行列式 e.g. 用消元法解二元线性方程组 （）。 解： 同理可得， 即，（） 1、二阶行列式的定义：用记号表示代数和，称为二阶行列式，即 2、二阶行列式的计算： 副对角线 主对角线 二元线性方程组的解可以记为 ，，其中， ，，。 e.g. 求解方程组。 e.g. 解： 原方程组有唯一解，且 ， 。 二、三阶行列式 1、三阶行列式的定义： 用记号表示代数和 ，称为三阶行列式，即 2、三阶行列式的计算 1）沙路法： 2）对角线法: 其中，蓝线所含三个元素的乘积取正号，红线所含三个元素的乘积取负号，即 。 注：沙路法和对角线法只适用于三阶行列式的计算。 §1.1 n阶行列式 一、排列与逆序 1、排列：将n个不同的元素排成一列，称为这n个元素的 一个n级排列。 e.g. 有甲、乙、丙三人要排成一队，问共有多少种排法。 1 甲乙丙 123 2 甲丙乙 132 3 乙甲丙 213 4 乙丙甲 231 5 丙甲乙 312 6 丙乙甲 321 任何n个不同元素的排列都可以转化为1到n这n个自然数的排列。 2、逆序与逆序数 1）逆序：在1至n这n个自然数的一个n级排列 中，若，则称这两个数构成一个逆序。 2）逆序数：一个n级排列中逆序的总数称为该n级排列的逆序数，记为。若逆序数为奇数，则称该排列为奇排列，若逆序数为偶数，则称该排列为偶排列。 3、有关逆序和逆序数的定理 对换：将一个n级排列中的两个数和的位置交换，得到一个新排列，称为一个对换，记为对换。 1）定理1.1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 2）定理1.2 n个数码共有个n级排列，其中奇偶排列各占一半。 二、n阶行列式的定义（逆序定义） 记个元素 （）组成的记号 为n阶行列式。其中，是取遍n个数组成的所有n级排列时， 对求和。 n阶行列式可以简记为，横排称为行，纵排称为列，脚标i称为行下标，表示元素所处的行数；脚标j称为列下标，表示元素所处的列数。 注： n阶行列式是项的代数和，代数和的每一项是取自 不同行不同列的n个数的乘积，其一般项为 。 当行下标按自然顺序排列时，每一项的符号取决于列下标排列的奇偶性，即列下标排列为偶排列时，该项取正号，列下标排列为奇排列时，该项取负号。 一阶行列式。 ＊补： n阶行列式还可定义为，其中，是取遍n个数组成的所有n级排列时，对求和。 e.g. 在四阶行列式中，、、、、是否为D的项？如果是，该项应取正号还是负号？ e.g. 解：是取自D不同行、不同列元素的乘积 是D的项 同理，也是D的项。 在中，是同行的元素 不是D的项 是三个元素的乘积 不是D的项 又在中， 应取负号 同理，应取负号。 三、三角行列式： 1）上、下三角行列式 上三角行列式： 下三角行列式: 2）斜上、下三角行列式 斜上三角行列式： 斜下三角行列式： 定理1.3 n阶行列式的一般项可记为 ， 其中，均为n级排列。 e.g. 已知，求中和的系数。 e.g. 解：若行列式所表示的代数和中要出现的项，则行列式每一行必取到含的项，即含的项为 含项的系数为10 同理，含的项为 ＋ ＋ 即含项的系数为－5。 作业： 已知，求中的系数。