误差平差：协方差传播定律及权ppt课件.pptVIP

先看两个例子 1、设有观测值向量 的方差阵为： （1）试写出各观测值的方差以及两两协方差； （2）若有函数 ，则该函数F的方差又如何？ 3-1 数学期望的传播 数学期望是描述随机变量的数字特征之一。 其定义是： 已知随机变量的数学期望求其函数的数学期望,称为数学期望的传播。 以下给出数学期望传播的几个运算公式 1、设C为一常数, 则: E(C)=C 2、设C为一常数,X为一随机变量, 则: E(CX)=CE(X) 3、设有随机变量X和Y, 则: E(X+Y)=E(X)+E(Y) 4、 若随机变量X、Y相互独立, 则： E(XY)=E(X)E(Y) 3-2 协方差传播律 从测量工作的现状可以看出 观测值函数与观测值之间的关系可分为以下两种情况： 1）线性函数（如观测高差与高程的关系）； 2）非线性函数（观测角度、边长与待定点坐标的关系）。 故，分别从线性函数、非线性函数研究协方差传播律。 设有观测值 ,数学期望为 ,协方差阵为 ，又设有X线性函数为: 求Z的方差DZZ。 为求Z的方差，我们需从方差的定义入手。 根据方差的定义,Z的方差为： 由数学期望运算可得： 将Z的函数式以及数学期望E（Z）代入得： 由上推导可得出以下结论： 若有函数: 纯量形式： 则函数的方差为: 以上就是已知观测量的方差,求其函数方差的公式。也称为“协方差传播律”。 例：已知向量 ，且 若有函数： 试求各函数的方差 。 二、多个观测值线性函数的协方差阵 设有观测值 ，它们的期望 、方差为 若有X的t个线性函数为: 求函数Z的方差以及它们之间的协方差？ 令: 则X的t个线性函数式可写为: 同样,根据协方差阵的定义可得Z的协方差阵为: 可以看出 线性函数的协方差和多个线性函数的协方差阵在形式上完全相同,且推导过程也相同; 所不同的是DZZ表示的是一个方阵； 前者是一个函数值的方差（1行1列）; 而后者是t个函数值的协方差阵（t行t列）。 即：前者是后者的特殊情况. 例5：已知向量 ，且： 若有函数： 并记 ，试求 。 两组线性函数的互协方差阵的求法 设有两组X的线性函数 若已知X的方差阵DXX; 则Y关于Z的互协方差阵DYZ以及DZY又如何? 根据互协方差阵的定义,可得: 再利用数学期望传播律，得： 同理,可得: 例:若有函数 在已知X1和X2的协方差阵D12时,试求Y对Z的协方差阵DYZ。 解： 协方差传播律小节 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 适用于各观测为相关观测情况； 定律的通式为： 三、非线性函数的情况 设有观测值 的非线性函数为 ： 已知X的协方差阵DXX。 求Z的方差阵DZZ。 解决这类问题的关键是 必需先将非线性函数线性化,得到和前面已推导出的公式“一致”的形式! 故，如何将非线性函数线性化，是我们先要解决的。 非线性函数的线性化 如果函数 在 的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，则在该邻域内 的泰勒公式为 测量平差中，非线性函数线性化的方法是按泰勒级数展开，并取其零次项和一次项，二次以上各项舍去，即 再来看多个变量的函数 的情况 或者为 之所以可以舍去二次以上项，是因为当 非常接近 时，上式中二次以上 各项都很微小，故可略去！ 令： 则： 故可以按前推出公式得： 以上就是求非线性函数协方差的方法。 如果令： 则将展开后的函数式写为： 不难看出，上式是非线性函数式的全微分。 同理，可以得到函数Z的方差为 应用协方差传播律的计算步骤： 1）按要求写出函数式； 2）若是非线性函数式，则先对函数式求全微分； 3）将函数式（或微分关系式）写成矩阵形式（有时要顾及单位的统一）； 4）应用协方差传播律公式求方差或协方差阵。 解： （1）列函数式， 由图知: 3-3 协方差传播律的应用 一、水准测量的精度 函数式