01-02《空间解析几何与线性代数》期终.doc

01-02学年第二学期 《空间解析几何与线性代数》期终试题 一 (30%) 填空题: 1. 设? = (1, 2), ? = (1, ?1), 则??T = ?1; ?T? =; (?T?)100 = . 2. 设矩阵A = , B = , 则行列式|AB?1| = . 3. 若向量组?1, ?2, ?3线性无关, 则当参数时, ?1??2, k?2??3, ?3??1也线性无关. 4. 矩阵A =的伴随矩阵A*=. 5. 设矩阵A及A+E均可逆, 且G = E?(A+E)?1 (其中E表示单位矩阵), 则. 6. 与向量? = (1, 0, 1), ? = (1, 1, 1)均正交的单位向量为. 7. 四点A(1, 1, 1), B(1, 1, x), C(2, 1, 1), D(2, y, 3)共面的充分必要条件是 . 8. 设实二次型f(x1, x2, x3) = x12 + kx22 + 2x2x3 + x32, 则当k满足条件时, 为f(x1, x2, x3) =1是椭球面; 则当k满足条件时, 为f(x1, x2, x3) =1是柱面. 二 (8%) 记?1为由曲线绕z-轴旋转所产生的旋转曲面, ?2为以?1与平面?3x + y + z = 1的交线为准线, 母线平行于z-轴的柱面. 试给出曲面?1及?2的方程, 并画出?1被?3所截有界部分在xOy平面上的投影区域的草图(应标明区域边界与坐标轴的交点). 三 (8%) 求经过直线且与xOy平面垂直的平面方程. 四 (12%) 求矩阵方程XA = 2X + B的解, 其中A = , B = . (12%) 设线性方程. 1. 问: 当参数p, q满足什么条件时, 方程组无解; 有唯一解; 有无穷多解? 2. 当方程组有无穷多解时, 求出其通解. 六 (12%) 设矩阵A = . 已知秩(A) = ?2矩阵B, 使得AB = O, 且秩(B) = 2; 3. 问是否存在秩大于2的矩阵M使得AM = O? 为什么? 七 (12%) 设实对称矩阵A = 与B = 相似. 1. 求参数k, l的值; 2. 求一正交阵Q, 使得QTAQ = B. 八 (6%) 已知n阶方阵A相似于对角阵, 并且A的特征向量均是矩阵B的特征向量. 证明: AB = BA. 01-02学年第二学期 《空间解析几何与线性代数》期终试题解答 一 (30%) 填空题: 1. 设? = (1, 2), ? = (1, ?1), 则??T = ?1; ?T? = ; (?T?)100 = . 2. 设矩阵A = , B = , 则行列式|AB?1| = ?1/70. 3. 若向量组?1, ?2, ?3线性无关, 则当参数k ?1时, ?1??2, k?2??3, ?3??1也线性无关. 4. 矩阵A =的伴随矩阵A*= . 5. 设矩阵A及A+E均可逆, 且G = E?(A+E)?1 (其中E表示单位矩阵), 则G?1 = E+A?1. 6. 与向量? = (1, 0, 1), ? = (1, 1, 1)均正交的单位向量为. 7. 四点A(1, 1, 1), B(1, 1, x), C(2, 1, 1), D(2, y, 3)共面的充分必要条件是x = 1 或y = 1. 8. 设实二次型f(x1, x2, x3) = x12 + kx22 + 2x2x3 + x32, 则当k满足条件k 1时, 为f(x1, x2, x3) =1是椭球面; 则当k满足条件k = 1时, 为f(x1, x2, x3) =1是柱面. 二 (8%) 记?1为由曲线绕z-轴旋转所产生的旋转曲面, ?2为以?1与平面?3: x + y + z = 1的交线为准线, 母线平行于z-轴的柱面. 试给出曲面?1及?2的方程, 并画出?1被?3所截有界部分在xOy平面上的投影区域的草图(应标明区域边界与坐标轴的交点). 解: ?1的方程为z = x2 + y2 ? 3. 联立, 消去z得?2的方程: x2 + y2 + x + y ? 4 = 0. ?2在xOy平面上的投影曲线的方程为. ?1被?3所截有界部分在xOy平面上的投影区域的草图如下面的右图所示: ?1与?3 ?1, ?2, ?3 所求的投影区域 三 (8%) 求经过直线且与xOy平面垂直的平面方程. 解: (法一) 设所求的平面方程为(x+2y?z?2)+?(?x+y?2z?1) = 0, 即 (1??)x+(2+?)y?(1+2?)z?(2+?) = 0 因为它与xOy平面垂直, 所以其法向量{(1??), (2+?), (1+