03-04《空间解析几何与线性代数》期终.doc

03-04学年第二学期 《空间解析几何与线性代数》期终试题 一 (24%) 填空题: 1. 若向量, ,共面, 则参数a, b满足 2. 过点P(1, 2, 1)且包含x轴的平面方程为. 3. 已知矩阵A满足A2 + 2A ? 3I = O, 其中I 表示单位矩阵, 则A的逆矩阵A?1 = 4. 设矩阵A =, B =, 则行列式|A2B?1| = . 5. 设向量组?1 = , ?2 = , ?3 = , 则当参数时, ?1, ?2, ?3线性相关. 6. 向量空间R2中向量? = (2, 3)在R2的基,与? = (1, 1) ? = (0, 1)下的坐标为 7. 满足下述三个条件的一个向量组为这三个条件是: ①它们是线性无关的; ②其中的每个向量均与? = (1, 2, 1)正交; ③凡与?正交的向量均可由它们线性表示. 8. 已知2×2矩阵A = , 若对任意的2维列向量?有?TA? = 0, 则abcd满足条件 . 二 (12%) 假设矩阵A, B满足A ? B = AB, 其中A =, 求B. 三 (15%) 设向量?1 = (a, 2, 10)T, ?2 = (?2, 1, 5)T, ?3 = (?1, 2, 4)T, ? = (2, b, c)T, 问当参数a, b, c满足什么条件时 1. ?能用?1, ?2, ?3唯一线性表示? 2. ?不能用?1, ?2, ?3线性表示? 3. ?能用?1, ?2, ?3线性表示, 但表示方法不唯一? 求这时?用?1, ?2, ?3线性表示的一般表达式. 四 (8%) 设实二次型f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2axy + 2ayz. 问: 实数a满足什么条件时, 方程f(x, y, z) = 1表示直角坐标系中的椭球面? 五 (12%) 设?2, 1, 矩阵B = aA3 ? 4aA + I. 1. 求参数, 使得矩阵B不可逆. 2. 问矩阵B是否相似于对角阵? 请说明你的理由. 六 (12%) ? x2. 1. 问 2. 求; 3. 画出由S1与S2所围成的立体的草图. 七 (1%) 设×3实对称矩阵A 与 =.求A八 (%) 证明题: 1. 设?1, ?2, …, ?t是齐次线性方程组Ax = ?的线性无关的解向量, ?不是其解向量. 证明: ??+?1, ?+?2, …, ?+?t也线性无关. A是n阶矩阵A| 1, 其中I是n阶矩阵.03-04学年第二学期 《空间解析几何与线性代数》期终试题解答 一 (24%) 填空题: 1. 若向量, ,共面, 则参数a, b满足ab = 1. 2. 过点P(1, 2, 1)且包含x轴的平面方程为y ? 2z = 0. 3. 已知矩阵A满足A2 + 2A ? 3I = O, 其中I 表示单位矩阵, 则A的逆矩阵A?1 = . 4. 设矩阵A =, B =, 则行列式|A2B?1| = 1/70 . 5. 设向量组?1 = , ?2 = , ?3 = , 则当参数k =0时, ?1, ?2, ?3线性相关. 6. 向量空间R2中向量? = (2, 3)在R2的基,与? = (1, 1) ? = (0, 1)下的坐标为(2, 1). 7. 满足下述三个条件的一个向量组为(?2, 1, 0), (1, 0, ?1), 这三个条件是: ①它们是线性无关的; ②其中的每个向量均与? = (1, 2, 1)正交; ③凡与?正交的向量均可由它们线性表示. 8. 已知2×2矩阵A = , 若对任意的2维列向量?有?TA? = 0, 则abcd满足条件 a = d = 0, b = ?c. 二 (12%) 假设矩阵A, B满足A ? B = AB, 其中A =, 求B. 解: (法一) 由A ? B = AB得 (A+I)B = A, 其中I表示单位矩阵. A+I = . A+I的行列式|A+I| = 1, 伴随矩阵(A+I)* = . 因而(A+I)?1 = . 于是B = (A+I) ?1A = = . (注意B未必等于A(A+I) ?1 !) (法二) 由A ? B = AB得 (A+I)B = A, 其中I表示单位矩阵. A+I = . [A+I, A] = = [I, (A+I) ?1A] 于是B = (A+I) ?1A = . 三 (15%) 设向量?1 = (a, 2, 10)T, ?2 = (?2, 1, 5)T, ?3 = (?1, 2, 4)T, ? = (2, b, c)T, 问当参数a, b, c满足什么条件时 1. ?能用?1, ?2, ?3唯一线性表示? 2. ?不能用?1, ?2, ?3线性