034数列的概念与简单表示法(复习设计)(师).doc

专题034：数列的概念与简单表示法1．以数列的前几项为背景，考查“归纳—推理”思想． 2．考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项． 3．考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知Sn与an的关系求an等． 本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主． ．熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外注意累加法、累积法的灵活应用．1．数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1＞an 其中nN＋ 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 an的符号正负相间，如1，－1,1，－1，… 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5．Sn与an的关系 已知Sn，则an＝在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 由递推式求通项an的方法： (1)an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法； (2)＝f(n)型，采用叠乘法； (3)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决． 自测 1．已知数列{an}的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是(　　)．A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝2sinC．an＝1－cos nπ D．an＝ 解析　根据数列的前4项验证．答案　B 2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为(　　)． A．30 B．31 C．32 D．33 解析　a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31.答案　B 3．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　)． A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．不确定 解析　an＋1－an－3＝0，an＋1－an＝3＞0，an＋1＞an.故数列{an}为递增数列．答案　A 4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)． A．15 B．16 C．49 D．64 解析　由于Sn＝n2，a1＝S1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1适合上式． an＝2n－1，a8＝2×8－1＝15.答案　A 5．数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中x的值为________． 解析　观察数列中项的规律，易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和．答案　21　　 例1写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； (2)，，，，，…； (3)－1，，－，，－，，…； (4)3,33,333,3 333，…. 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系． 解　(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，…，所以an＝. (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·. 也可写为an＝ (4)将数列各项改写为：，，，，…， 分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1，104－1，…，所以an＝(10n－1)． 根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来． 由an与Sn的关系求通项an 已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，则它的通项公式为an＝________. 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解． 解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2·3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2也满足an＝2·3n－1. 故数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1.答案　2·3n－1 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2