04-积化和差与和差化积(教案).doc

四、 积化和差与和差化积 【知识提要】 积化和差与和差化积等公式： 积化和差：和差化积：sinα·cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]；sinα+sinβ=2sin·cos；cosα·sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]；sinα-sinβ=2cos·sin；cosα·cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]；cosα+cosβ=2cos·cos；sinα·sinβ= ?[cos(α+β)-cos(α-β)] 。 cosα-cosβ= ?2sin·sin。 【例题解析】 求证：sin3θsin3θ+cos3θcos3θ=cos32θ. 证明：左边=sin2θ(sin3θsinθ)+cos2θ(cos3θcosθ) =sin2θ(cos2θ-cos4θ)+cos2θ(cos4θ+cos2θ) =cos2θ(sin2θ+ cos2θ)+cos4θ(cos2θ- sin2θ) =cos2θ+cos4θcos2θ=cos2θ(1+cos4θ)=cos2θ×2 cos22θ= cos32θ=右边。 ∴ 原式成立。已知α+β=且0≤α≤，求y=sinαsinβ的最大值和最小值。 解：由α+β=，得β=-α, ∴ y=sinαsinβ=[cos-cos(2α-)]=+cos(2α-) ∵ 0≤α≤，-≤2α-≤当α=时，y取得最大值；当α=0时，y取得最小值0.求证：在△ABC中，cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin. 证明：∵A+B+C=π，∴ C=π-A-B∴ =-. cosA+cosB+cosC= cosA+cosB-cos(A+B)=2coscos+1-2cos2 =1+2cos( cos- cos)==1+4 sinsinsin. 已知，求的值 解： ， ，，=已知，， 分别求出cos(α-β),,tanαtanβ的值 解： （1） （2） (1)2+(2)2得：2+2 cos(α-β)=1，∴ cos(α-β)= 由（1）得：2= (3) 由（2）得：2= (4) : ,∴ ==. cos(α-β)=?cosαcosβ+sinαsinβ= (5) = ? cosαcosβ-sinαsinβ= (6) 由（5）、（6）解得：cosαcosβ= ，sinαsinβ=∴ tanαtanβ= 若、为锐角，且满足2cos(+)+2(sin+sin)-3=0，求，的值。 解： 另解：对（*）式，可利用，又 此时 求证：cosx+cos2x+…+cosnx=。 ：(cosx+cos2x+…+cosnx)·sin =[(sin-sin)+(sin-sin)+…+(sin-sin)] =[sin-sin]=cos·sin)。 ∴cosx+cos2x+…+cosnx=。▋ 【练习】 求函数y=sin(x+)sin(x-)的最大值和最小值. 解：y=cos2x+,∴ ymax=,ymin=.求值：cos2α-cos(α+60°)·cos(α-60°)=___________。 解：cos2α-cos(α+60°)·cos(α-60°)=-=。▋求函数的值域。 。 又cosx≠0，∴x≠kπ+（k∈Z），函数的值域为(-4，0]。▋ 求函数y=sin2x+sin2(x+)的最大值和最小值。 解：y=(1-cos2x)+ [1-cos(2x+)]=1-[cos2x+ cos(2x+)] =1-×2×coscos(2x+)=1-cos(2x+) ∴ 最大值为1+，最小值1-。 12-13学年度高三第一轮复习(三角) 积化和差与和差化积（教案） 积化和差与和差化积（教案） 共 3页 第 3 页