0Bbddkc《数学分析》8收敛数列的性质.docVIP

七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风”罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。啸之记。 §２　收敛数列的性质 教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。 教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性； （２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点：数列极限的计算。 教学方法：讲练结合。 教学程序： 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。 一、收敛数列的性质 性质１（极限唯一性）　若数列收敛，则它只有一个极限。 性质２（有界性）若数列收敛，则为有界数列。 注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列有界，但它不收敛。 性质３（保号性）　若（或），则对任何（或），存在正数Ｎ，使得当时有（或）。 性质４（保不等式性）设数列与均收敛，若存在正数，使得当时有，则。 思考：如果把条件“”换成“”，那么能否把结论换成？ 保不等式性的一个应用： 例　设，证明：若，则. 思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？ 性质５（迫敛性）　设收敛数列、都以a为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且. 注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。 下面是其应用一例： 例　求数列的极限。 性质６（极限的四则运算法则）　若、为收敛数列，则也都收敛，且有 ; . 若再做假设及，则数列也收敛，且有 . 特别地，若，则，. 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例； 例　求，其中. 例　求，其中. 例　求. 例　求. 二 数列的子列 引言 极限是个有效的分析工具。但当数列的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？难道没有一点规律吗？当然不是！　出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。 子列的定义 定义１ 设为数列，为正整数集的无限子集，且，则数列 称为数列的一个子列，简记为. 注1 由定义可见，的子列的各项都来自且保持这些项在中的的先后次序。简单地讲，从中取出无限多项，按照其在中的顺序排成一个数列，就是的一个子列（或子列就是从中顺次取出无穷多项组成的数列）。 注2 子列中的表示是中的第项，表示 是中的第k项，即中的第k项就是中的第项，故总有. 特别地，若，则，即. 注3 数列本身以及去掉有限项以后得到的子列，称为的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为的非平凡子列。 如都是的非平凡子列。由上节例知：数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。 那么数列的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理 数列收敛的任何非平凡子列都收敛。 由此定理可见，若数列的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列必收敛于同一个极限。于是，若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散。这是判断数列发散的一个很方便的方法。