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生命是永恒不断的创造,因为在它内部蕴含着过剩的精力,它不断流溢,越出时间和空间的界限,它不停地追求,以形形色色的自我表现的形式表现出来。--泰戈尔§2 收敛数列的性质
教学目的:熟悉收敛数列的性质;掌握求数列极限的常用方法。
教学要求:(1)使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性;
(2)掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理,并会用这些定理求某些收敛数列的极限。
教学重点:迫敛性定理及四则运算法则及其应用。
教学难点:数列极限的计算。
教学方法:讲练结合。
教学程序:
引 言
上节引进“数列极限”的定义,并通过例题说明了验证的方法,这是极限较基本的内容,要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。
一、收敛数列的性质
性质1(极限唯一性) 若数列收敛,则它只有一个极限。
性质2(有界性)若数列收敛,则为有界数列。
注:有界性只是数列收敛的必要条件,而非充分重要条件。例如数列有界,但它不收敛。
性质3(保号性) 若(或),则对任何(或),存在正数N,使得当时有(或)。
性质4(保不等式性)设数列与均收敛,若存在正数,使得当时有,则。
思考:如果把条件“”换成“”,那么能否把结论换成?
保不等式性的一个应用:
例 设,证明:若,则.
思考:极限运算与一般函数运算可交换次序吗?
性质5(迫敛性) 设收敛数列、都以a为极限,数列满足:存在正数,当时有,则数列收敛,且.
注:迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法,而且也提供了一个求数列极限的工具。
下面是其应用一例:
例 求数列的极限。
性质6(极限的四则运算法则) 若、为收敛数列,则也都收敛,且有
;
.
若再做假设及,则数列也收敛,且有
.
特别地,若,则,.
在求数列的极限时,常需要使用极限的四则运算法则。下举几例;
例 求,其中.
例 求,其中.
例 求.
例 求.
二 数列的子列
引言
极限是个有效的分析工具。但当数列的极限不存在时,这个工具随之失效。这能说明什么呢?难道没有一点规律吗?当然不是! 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么,如果“整体无序”,“部分”是否也无序呢?如果“部分”有序,可否从“部分”来推断整体的性质呢?简而言之,能否从“部分”来把握“整体”呢?这个“部分数列”就是要讲的“子列”。
子列的定义
定义1 设为数列,为正整数集的无限子集,且,则数列
称为数列的一个子列,简记为.
注1 由定义可见,的子列的各项都来自且保持这些项在中的的先后次序。简单地讲,从中取出无限多项,按照其在中的顺序排成一个数列,就是的一个子列(或子列就是从中顺次取出无穷多项组成的数列)。
注2 子列中的表示是中的第项,表示 是中的第k项,即中的第k项就是中的第项,故总有. 特别地,若,则,即.
注3 数列本身以及去掉有限项以后得到的子列,称为的平凡子列;不是平凡子列的子列,称为的非平凡子列。
如都是的非平凡子列。由上节例知:数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散,且在收敛时有相同的极限。
那么数列的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢?此即下面的结果:
定理 数列收敛的任何非平凡子列都收敛。
由此定理可见,若数列的任何非平凡子列都收敛,则所有这些子列必收敛于同一个极限。于是,若数列有一个子列发散,或有两个子列收敛而极限不相等,则数列一定发散。这是判断数列发散的一个很方便的方法。
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