1.2.1第2课时排列的综合应用学案(人教A版选修2-3).docVIP

第2课时　排列的综合应用 【课标要求】 1．掌握几种有限制条件的排列． 2．能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题． 【核心扫描】 1．与数字有关的排列问题．(难点) 2．常见的解决排列问题的策略．(重点) 3．分类讨论在解题中的应用．(易错点) 自学导引 应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤： 试一试：某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的世博宣传广告，要求前两个必须播放世博宣传广告，则不同的播放方式有________种(用数字作答)． 提示　分二步完成，第一步有A种方法，第二步有A种方法，因此共有A·A＝12种． 名师点睛 1．无限制条件的排列应用题 解决问题的方法是把问题转化为排列问题．弄清这里n个不同元素指的是什么，以及从n个不同元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事件，即把要计算的数转化为一个排列数，直接利用排列数公式计算． 2．有限制条件的排列应用题 所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求．解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决，常用的方法有直接法和间接法，直接法又有分步法和分类法两种． (1)直接法 ①分步法 按特殊元素或特殊位置优先安排，再安排一般元素(位置)依次分步解决，特别地： (ⅰ)当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种分步法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”． (ⅱ)当某些特殊元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”． ②分类法 直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决，即直接分类法． 特别地当某些元素按一定顺序排列时可用“等机率法”，即n个不同元素参加排列，其中m个元素的顺序是确定的，这类问题的解法是采用分类法：n个不同元素的全排列有A种排法，m个元素的排列有A种排法，因此A种排法中关于m个元素的不同分法有A类，而且每一分类的排法数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有种排法． (2)间接法 符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差．故求符合条件的种数时，可先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即“间接法”. 题型一　数字排列的问题 【例1】 用0,1,2,3,4,5这六个数字 (1)可以组成多少个数字不重复的三位数？ (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？ (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？ (4)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？ (5)可以组成多少个大于3 000，小于5 421的不重复的四位数？ [思路探索] 利用两个计数原理及排列数公式解题，主要注意特殊元素“0”的位置． 解　(1)分三步： ①先选百位数字．由于0不能作百位数字，因此有5种选法； ②十位数字有5种选法； ③个位数字有4种选法． 由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个)． (2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法． 故所求三位数共有5×6×6＝180(个)． (3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个)． (4)分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个)．因此，比1 000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)． (5)分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5 420也是满足条件的1个．故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个)． [规律方法]　排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某个元素． 解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论． 【变式1】 用0,1,2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数： (1)五位奇数； (2)大于30 000的五位偶数． 解　(1)要得到五位奇数，末位应从1,3,5,7,9五个数字中取，有5种取法；取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理共有5×8×A＝13 440个没有重复数字的五位奇数； (2)要