10年考研数学强化线性代数讲义(一至二讲).docVIP

第一讲 基本概念 一. 关于矩阵和向量的几个问题。 1．行向量和列向量 3 问题:(3,-2,1)和 -2 是不是一样? 1 2. 下列矩阵都是什么矩阵? ① 1 0 0 ② c 0 0 ③ 2 -1 1 ④ 0 0 1 ⑤ 0 0 0 0 0 0 0 c 0 0 1 7 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ⑥ 2 2 2 ⑦ 2 -1 0 1 2 2 0 0 1 2 7 2 0 0 0 0 2 0 对角矩阵: ① ② ⑤ . 上三角矩阵: ① ② ③ ⑤ . 下三角矩阵: ① ② ⑤ . 对称矩阵: ① ② ⑤ ④ ⑥ . 3. 3 -1 4 例:求矩阵A= 5 0 7 的列向量组的系数为2,-1,3的线性组合. 0 8 -6 3 -1 4 6 1 12 17 解:2 5 - 0 +3 7 = 10 - 0 + 21 = 31 . 0 8 -6 0 8 -18 -26 二．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn=bm, 对线性方程组讨论的主要问题两个: (1)判断解的情况:无解,唯一解,无穷多解. (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组:b1=b2=…=bm=0的线性方程组. n维(0,0,…,0)T 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 称矩阵 a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n b1 A= a21 a22 … a2n 和(A|?)= a21 a22 … a2n b2 … … … … … … … am1 am2 … amn am1 am2 … amn bm 为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而对于齐次方程组,它的全部信息都体现在系数矩阵中. 三. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 1.初等变换 矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类. 初等行变换: ① 交换两行的位置. ② 用一个非0的常数乘某一行的各元素. ③ 把某一行的倍数加到另一行上.(倍加变换,消元变换) 2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足: ① 如果它有零行, 也有非零行,则零行都在下,非零行在上. ② 如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升. 1 -3 2 6 5 1 0 0 2 4 -6 3 0 0 0 -3 9 4 0 0 0 0 0 0 -3 2 6 5 2 0 0 2 4 -6 3 0 0 0 -3 9 4 0 0 0 0 0 1 -3 2 6 5 1 0 0 0 4 -6 4 0 0 0 -3 9 4 0 0 0 0 0 问题1.设A是n阶矩阵, 下列命题中哪个正确? (1) 如果A是阶梯形矩阵,则A是上三角矩阵. (2) 如果A是上三角矩阵,则A是阶梯形矩阵. (3) 如果A是阶梯形矩阵,则A的最下面的行向量为零向量. (4) 如果A是阶梯形矩阵,并且它的(n,n)位元素不为0,则A的对角线上的元素都不为0. 问题2. 设A是阶梯形矩阵.下列断言哪几个正确? (1) A去掉任意一行仍然是阶梯形矩阵. (