高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(四)——在立体几何证明中的应用.pptVIP

练习1 * 空间向量应用4 在立体几何证明中的应用 前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离) 今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。 立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行”“垂直”两大类： 平行：线面平行、面面平行 垂直：线线垂直、线面垂直和面面垂直 平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。 1、已知b⊥α，a不在α内，如果a⊥b，则a∥α。 2、如果a⊥α， a⊥β，则α∥β。 3、如果a∥b， a⊥α，则b⊥α。（课本P22.6） 4、如果a⊥α， b⊥β， a⊥b，则α⊥β。 一、 用空间向量处理“平行”问题 一、 用空间向量处理“平行”问题 ↑ → ↑ ↑ G A E D C B F H M N 例1.如图：ABCD与ABEF是正方形，CB⊥平面ABEF，H、G分别是AC、BF上的点，且AH=GF. 求证： HG∥平面CBE. MH∥AB,NG ∥AB MH∥NG AH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NG G A E D C B F H P PH∥CB,PG∥BE 平面HPG∥平面CBE HG∥平面CBE G A E D C B F H o z y 证明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz. x 设正方形边长为1, AH=FG=a, 则H(0,1- a , a)、 G(1- a , 1- a,0), 故 ,而平面CBE的法向量为 (0,1,0), 故 ,而 平面CBE 故 HG∥平面CBE R D B C A A1 Q P N M D1 C1 B1 例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点. 求证： MN∥平面AC. M是中点，N是中点 MN∥RQ MN∥平面AC D B C A A1 Q P N M D1 C1 B1 作PP1⊥AB于P1，作MM1 ⊥AB于M1，连结QP1， 作NN1⊥ QP1于N1，连结M1N1 N1 M1 P1 NN1∥PP1 MM1∥AA1 又NN1、MM1均等于边长的一半 故MM1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1 MN∥平面AC D B C A A1 Q P N M D1 C1 B1 z y x o 证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为2，又A1P=BQ=2x 则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1) 所以向量 (-x, x, 0)，又平面AC的法向量为 (0, 0, 1)，∴ ∴ 又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC D C B A D1 C1 B1 A1 例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD∥平面CB1D1 平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD 于是平面A1BD∥平面CB1D1 D C B A D1 C1 B1 A1 o z y x 证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为1，则向量 设平面BDA1的法向量为 则有 x+z=0 x+y=0 令x=1,则得方程组的解为 x=1 y=-1 z=-1 故平面BDA1的法向量为 同理可得平面CB1D1的法向量为 则显然有 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0，利用解方程组的方法求出平面法向量(在解的过程中可令其中一个未知数为某个数)。 ※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？ D C B A D1 C1 B1 A1 F G H E 例4.在正方体ABCD-A1B1C1D