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数值积分与数值微分  或写成: 2、截断误差 Newton-Cotes公式的误差为: 与x有关 3、代数精度 作为插值型求积公式， 具有 次代数精度， 阶Newton-Cotes公式至少 而实际的代数精度是否可以进一步 提高呢？ 定理 当阶数 为偶数时, Newton-Cotes公式至少具有 次代数精度。 证明: 只需验证当 为偶数时,Newton-Cotes公式对 的余项为零。 由于 ,所以 即得 引进变换 ,因为 为偶数,故 为整数, 于是有 据此可断定 ,因为上述被积函数是个奇函数. 4、数值稳定性 现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响. 设用公式 近似计算积分 时, 其中计算函数值 有误差 则在 的计算中,由 引起的误差为 没有误差, 中间计算过程中的舍入误差也不考虑, 计算 ，而 如果 都是正数,并设 则有 故 是有界的, 即由 引起的误差受到控制, 的 倍, 不超过 保证了数值计算的稳定性。 将出现负数, 而当 时, 将随 增大,因而不能保证数值稳定性. 故高阶公式不宜采用,有实用价值的仅仅是几种低阶的求 积公式. 三、几种常用的低阶求积公式 n = 1: 梯形公式 /* 令 x = a+th, h = b?a, 用中值定理 */ 代数精度 = 1 n = 2: Simpson 公式 代数精度 = 3 n = 4: Cotes 公式 代数精度 = 5, 这里 四、复化求积公式 高次插值有Runge 现象，怎么办？ 可采用分段低次插值来解决 高阶Newton-Cotes公式会出现 数值不稳定。 而低阶Newton-Cotes公式 有时又不能满足精度要求，怎么办？ 可将积分区间 分成若干小 区间，在每个小区间上用 低阶求积公式计算，然后求和。 ? 复化梯形公式： 在每个 上用梯形公式： = Tn /*中值定理*/ 复化梯形公式积分法 ? 复化 Simpson 公式： 4 4 4 4 4 = Sn 复化Simpson公式积分法 ? 复化 Cotes公式： = Cn ? 收敛速度与误差估计： 定义： 若一个积分公式的误差满足 ， 且 ，则称该公式是 p 阶收敛的。 ~ ~ ~ 例: 利用数据表 0 1/8 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 1/4 2 2.26549 2.46000 2.87640 3.20000 3.50685 3.76470 3.93846 4 计算积分 解： 这个问题有明显的答案 取n = 8用复化梯形公式 = 3.138988494 取n=4 用辛卜生公式 = 3.141592502 运算量基本相同 复化梯形公式的误差估计 给定精度 ，如何取 ? 例如：要求 ，如何判断 n = ？ 1、误差先验估计式 记 则 ? 上例中若要求 ，则 即：取 n = 409 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 上例中2k ? 409 ? k = 9 时，T512 = 3 S4 = 3.141592502 注意到区间再次对分时 可用来判断迭代 是否停止。 2、误差后验估计式 复化Simpson公式的误差估计 1、误差先验估计式 2、误差后验估计式 复化Cotes公式的误差估计 1、误差先验估计式 2、误差后验估计式 四、龙贝格积分 例: 计算 已知对于? = 10?6 须将区间对分 9 次，得到 T512 = 3考察 由 来计算 I 效果是否好些？ = 3.141592502 = S4 一般有： Romberg求积公式 * * §1 引 言 一、数值积分的必要性 本章主要讨论如下形式的一元函数积分 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分 要求被积函数 ? 有解析表达式； ? 的原函数 为初等函数． 实际问题 1. 的原函数 不能用初等函数表示 例如函数: 考虑一个实际问题: 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平