14-高数试卷答案1.doc

高数试卷 一、填空题 1 极限的值是 2 设隐函数由方程确定，则 3 设是函数 麦克劳林公式中的系数,则 . 4 曲线y =在上的最小值是______,拐点是 5 由曲线, 轴及和所围平面区域的面积是 二、单项选择 6 数列单调且有界是该数列收敛的 （ ）。 A、必要条件 ； B、充分条件；C、充要条件； D、既非充分又非必要条件。 7 设 ，则在点处（ ）。 A、不连续； B、一定不可导； C、可导但；D、一定取得极大值。 8 设在区间上成立，则（ ） A 在上连续,但不一定可导; B 在上一定可导; C 在上连续,但不一定可导; D 在上一定可导. 9 设曲线处处有切线，且满足 ，则该曲线在点（1，）处的切线斜率为 （ ） A 2 ; B ; C ; D 10 曲线在区间上是（ ） A 单调上升且下凸的 ； B 单调上升且下凹的； C 单调下降且下凸的； D 单调下降且下凹的 。 三 计算题 11 计算极限 12 求导计算设 求 13设, 求. 14求不定积分 15计算(6分) 16求解初值问题： 　 四 应用题 17求抛物线和它在点（0，2）处的切线以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积。 18有一容器开口向上，其侧壁是由抛物线绕轴旋转而成旋转曲面，当匀速向容器内注入水时，试证明水面升高的速度与当时液面的高度成反比． 五 证明题 19设在上连续，在内可导，且证明：使得. 20设函数满足条件 (i)， (ii) 。试证明 (1)在上存在使得； (2) 令，，，则存在且极限值为(1)中的。 答案 填空题 1 ； 2 ； 3 ； 4 5 1； 二、单项选择 B B B A D 三 计算题 11 解 12 ； 13 14解 令 15 16　解　设 　　　　 (*) 是方程的解，这里 是待定常数，由此有 　　　 将y及 代入方程，并比较x的同次幂的系数，得 　　　 由初始条件 得 且利用数学归纳法可推得 代入(*)得 　　　 17解 曲线在点（0，2）处的切线方程为， 旋转体的体积为 18证明:首先必须求出在液面高度为时，容器内液体的体积与的函数关系．侧壁轴截线方程为，从而可知 ， 所以有 ． 由于注水速度为常数，即，于是 19证明 由积分中值定理，存在使得 在上满足罗尔定理的条件，于是存在，使得 20证明 令，则在上连续，且，； 应用零点存在定理，在上存在使得即。 （2）由 而 ，于是.