2-2 平稳随机过程和各态历经过程.ppt

2.2 平稳随机过程和各态历经过程 2.2.1 严平稳过程 2.2.2宽平稳过程 2.2.3 各态历经过程 2.2.4 平稳随机过程的相关性分析 2、性质 （1）严平稳随机过程的一维分布与时间t无关。 2、性质 二维分布只与时间间隔τ= t2- t1有关，即有 例题 例题 例题 2.2.3各态历经过程 2.2.3各态历经过程 例题 例题 2.2.4平稳过程的相关性分析 1. 自相关函数的性质 设X(t)为实平稳的随机过程： ⑴R(0)=E[X2(t)]= S [X(t)的平均功率] 证明： ⑵ R(τ) =R(-τ) [R(τ)是偶函数] 证明： ⑶|R(τ)|≤R(0) [R(τ)的上界（上限）] 证明： E[X(t)-X(t+τ)]2≥0 E[X(t)]2+E[X(t+τ)]2≥2 E[X(t)]E[X(t+τ)] 2R(0)≥2R(τ) 同理，E[X(t)+X(t+τ)]2≥0可推出 2R(0)≥-2R(τ) ⑷R(∞)= E2[X(t)]=mX2 [ X(t)的直流功率] 证明： τ→∞时 ，X(t) 与X(t+τ)统计独立，无依赖关系。 ⑸R(0)- R(∞)=σ2 [方差，X(t)的交流功率] 平均功率-直流功率=交流功率 E[X2(t)] -[EX(t)]2= D[X(t)] 2、相关系数 * * 2.2.1 严平稳过程 一个随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，即对任意的正整数n和所有实数τ，随机过程X(t)的n维概率密度函数满足： fX(x1,x2,···,xn;t1,t2,···,tn)= fX(x1,x2,···,xn;t1+ τ,t2 + τ,···,tn+ τ) 则称X(t)是严格意义下的平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义的平稳随机过程 ）。 严平稳过程的n维概率密度不随时间起点不同而改变。 1、定义 f1(x1, t1)=f1(x1) f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2;τ) 3、严平稳的判断 (1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 与时间t无关。 (2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相同的统计特性。 按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个： 若随机过程 X(t)满足 则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。 严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。 2.2.2 宽平稳过程 1、定义 例1 某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。  讨论X(t)是否是广义的平稳随机过程。  解： X(t)的数学期望为 X(t)的自相关函数为 X(t)的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间间隔τ有关， 所以X(t)为广义平稳随机过程。  例题 对平稳随机过程，如果它的统计平均值等于它的任意一次实现（样本）的时间平均值，即： 称平稳随机过程具有各态历经性(遍历性)，X(t)称为广义各态历经过程，简称各态历经过程。 1、定义 具有各态历经性的随机过程一定是平稳随机过程，但平稳随机过程却不一定都具有各态历经性。 各态历经的含义： 随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。 例2 某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。  讨论X(t)是否具有各态历经性。  例题 解： X(t)的时间平均为： X(t)的时间相关函数： 比较统计平均（例1）与时间平均，得 mX= R(τ)=  因此，随机相位余弦波是各态历经过程。 一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间T不可能无限长，只要足够长即可。 3 、各态历经过程