3.3各态历经.ppt

* 各态历经性是1931年在统计力学中提出来的,它的直观意义是 一个平稳过程如果是各态历经的,则它的每一个样本 函数几乎必须经历它所具有的各种状态. 三 平稳过程的各态历经性 时间平均定义 设{X(t), -∞t+ ∞}是平稳过程,若均方极限 则称X(t)为{X(t), -∞t+ ∞}在(-∞,+ ∞)上 的时间平均. 1. 各态历经的定义 若对任意固定的τ∈R,均方极限 则称X(t)X(t+τ)为{X(t), -∞t+ ∞}在 (-∞,+ ∞)上的时间相关函数. 时间相关函数定义 对参数集为t≥0的平稳过程, 即{X(t), t≥0}. 时间平均 时间相关函数 各态历经性定义 设{X(t), -∞t+ ∞}是平稳过程 (1) 若以概率1有 X(t)=mX(t) 则称{X(t), -∞t+ ∞}的均值具有各态历经性. (2) 若对任意的τ∈R,以概率1有 X(t)X(t+ τ )=RX(τ) 则称{X(t), -∞t+ ∞}的相关函数具有各态历经性. 若平稳过程{X(t), -∞t+ ∞}的均值函数 与相关函数都具有各态 历经性,则 称{X(t), -∞t+ ∞}具有各态历经性. 或 称{X(t), -∞t+ ∞}是各态历经过程. 举例1 解 举例2 解 2. 均值各态历经的判定 定理设{X(t), -∞t+ ∞}是平稳过程,则 {X(t), -∞t+ ∞}均值具有各态历经性的 充要条件是 证明 由定义 {X(t), -∞t+ ∞}均值具有各态历经性的充要条件是 而上式成立的充要条件是 再由模的定义 所以 {X(t), -∞t+ ∞}均值具有各态历经性的 充要条件是 1. 若{X(t), -∞t+ ∞}是实平稳过程,则均值具有各态历经性的充要条件是 一些推论 2. 对参数集为t≥0的平稳过程 {X(t), t≥0},均值具有各态历经性的充要条件是 特别当{X(t), t≥0}为实平稳过程,则相应结论为 则 {X(t), -∞t+ ∞}的均值具有各态历经性. 3. 设{X(t), -∞t+ ∞}是平稳过程,如果 证明 所以 {X(t), -∞t+ ∞}的均值具有各态历经性. 举例1 设{X(t),t≥0}是只取±1两个值的随机过程, 其符号的改变次数是一参数为λ的Poisson 过程{N(t),t≥0},且对任意的t≥0, P(X(t)=－1)=P(X(t)=1)=1/2. 试讨论{X(t),t≥0}均值的各态历经性. 解 所以{X(t),t≥0}的均值具有各态历经性. *