09奇异最优控制.pptVIP

第二段采用状态的线性反馈控制律(9-31)， 系统沿着双曲线奇异弧运动。 第三段是再一次应用 ，使系统沿着 Bang-Bang弧转移到坐标原点。 下面讨论一种控制不受约束的特殊情况(见图9-l)。这时，第一段是脉冲控制（控制的幅度为无穷大，持续时间为无穷小）。脉冲控制所对应的轨线可由下式定出 (9-32) 图9-1　最优轨线 在 相平面上，这是一条斜率为-1的直线。正的脉冲控制导致状态向右下方移动，而负的脉冲控制会使状态向左上方转移。因此，假如已知的初态为图中的 点，则最优轨线 （如图9-1所示）。利用脉冲函数的控制，系统的状态沿 等于常数的直线瞬时地由 转移到 点。 在奇异孤上，使用式(9-31)的控制律，由状态方程解得 (9-33) 的大小随时间按指数规律减小，状态按着箭头所示的方向沿奇异弧变化，当 时到达直线 。此后，再用一个负脉冲控制，系统瞬时地转移到原点。 控制过程要在规定时间 完成，即要求沿奇异弧在 时刻到达直线 ，由此条件确定哈密顿函数 的常数值 。这样，就从单参数曲线族(9-29)中找出一个特定的奇异弧。设初态为 。则由上述条件不难定出 (9-34) 式中 并可求得第一段弧与奇异弧的交点为 (9-35) (9-36) (2) 若不受限制，则奇异弧(9-29)变为 由此得两个可能的奇异弧段为 (9-37) 在弧线 上，奇异弧控制为 。由此得 (9-38) 在弧线 上，奇异控制为 ，由此得 其中 是奇异弧起始时刻。 如果控制受式(9-21)约束，则奇异弧只能限制在图9-2所示的 的范围内 图9-2 的范围 图9-3 最优轨线 将 上的控制 和 代入状态方程(9-20)，可以判定沿 的运动是远离原点的，而沿 的运动则指向原点。如果末态指定为坐标原点， 不能成为最优奇异弧。若初态落在弧线 上，则沿 从初态到原点这个弧段是最优轨线。 一般情况下，初态和末态可以是 相平面上的任何点，在这种情况下还不能预断最优解中是否包括奇异弧。然而，若末态指定为坐标原点，则对很多初态来说，最优控制既包括Bang-Bang弧段，又包括奇异弧段。 例如当初态点A为 ，原点为末态时，如图9-3所示，最优轨线的第一段是 的Bang－Bang控制正常弧，直到该弧与 相交(交点B为 )，此后改为奇 异控制 ，系统沿 一直到达原点。相应的最优轨线为ABO。 当初态远离原点时，比如， ，如图9-3所示的C点，前两段分别是 的Bang-Bang控制，最后一段是沿 运动的奇异控制。显然，直线 是正常弧段转为奇异弧的开关曲线，而由 转换到 的开关线可由 倒推出来。除 外，开关线的其它部分如图9-3的虚线所示。典型的控制曲线如图9-4所示。 图9-4 典型的控制曲线 综上所述，典型的最优控制包括Bang-Bang控制和奇异控制两部分：前者的开关曲面是状态空间中的一个超曲面，一般情况下它不是线性的，然而，在原点附近有一部分超曲面是有界的奇异超曲面或者有界的超平面。 9.3 奇异最优控制的算法 求解奇异最优控制的算法有很多，其中较为成熟的方法是正则化方法，也就是利用摄动方法把一个奇异问题化成为相应的非奇异问题，这种摄动应使非奇异问题的解在某种意义上能逼近原来的奇异问题的解。所采用的正则化方法是一个很简单的方法，这就是在性能指标中的被积函数上加上一项 ，其中 是一个正的小量，其效果是对最优性能指标作了一个微小摄动。下面介绍一下正则化方法。 如下的受控系统 其中控制 受不等式约束 (9-40) (9-39) 性能指标为