10 1二重积分的概念性质.pptVIP

一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 性质8. 四、小结 * 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. １．曲顶柱体的体积 播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域， 曲顶柱体的体积 ２．求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 曲顶柱体体积 对二重积分定义的说明： 平面薄片的质量 (1). 二重积分的定义中，对闭区域的划分和介点选取是任意的。 (2). 当f(x,y) 在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在。 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是曲顶柱体的体积； 当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值。 二重积分的几何意义:是曲顶柱体的体积的代数和。 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 D 则面积元素为 积分变量 二重积分的具体形式 dx dy 性质１ 当 为常数时， 性质２ （二重积分与定积分有类似的性质） 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积， 性质５ 若在D上 特殊地 则有 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 设函数 D 位于 x 轴上方的部分为 , D 在闭区域上连续, 域D 则 则 关于 x轴对称， 类似可研究区域关于 y 轴对称, 函数关于 x 对称的情况. 如: 为圆域 在第一象限部分, 则有 解 解 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） （和式的极限） 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数． 思考题解答 练 习 题 练习题答案 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为，假定在上连续，平面薄片的质量为多少？ 定义 设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小闭区域，，，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点， 作乘积 ， ， 并作和 ， 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区域D上的二重积分， 记为， 即. 设、分别是在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则 例1 估计的值， 其中D： . 例2 比较积分与 的大小, 其中D是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0), (1,1), (2,0). 设函数在闭区域上连续， 为 的面积，则在D上至少存在一点使得 区域面积, 在上的最大值 的最小值 故 三角形斜边方程 在D内有 , 故 , 于是, 因此 . 填空题: 当函数在闭区域上______________时,则其在上的二重积分必定存在 . 二重积分的几何意义是___________________________________. 若在有界闭区域上可积,且,当时, 则__________; 当时, 则__________ . __________,其中是圆域 的面积 ,. 利用二重积分定义证明: .(其中为常数) 比较下列积分的大小: 1、, 其中是由圆 所围成 . 2、,其中是矩形 闭区域: . 四、估计积分的值,其中是圆 形区域: . 一、1、连续； 2、以为曲顶,以为底的曲顶柱体体积 的代数和； 3、,； 4、. 三、1、； 2、. 四、.