1979年全国高中数学竞赛试题及解答.docVIP

1979年全国高中数学竞赛题 第一试 1．求证：sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ) 2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x－y=0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程． 3．在△ABC中，∠A为钝角，求作一个面积最小的圆，把△ABC完全盖住． 4．圆的两条非直径的圆相交，求证：它们不能互相平分． 5．解方程组 6．解方程：5x2+x－x－2=0． 7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”． 8．设△ABC三内角成等差数列，三条对应边a、b、c的倒数成等差数列，试求A、B、C． 9．已知一点P(3，1)及两直线l1：x+2y+3=0，l2：x+2y=7=0，试求通过P点且与l1、l2相切的圆的方程． 10．已知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式abc，问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个最大？证明你的结论． 第二试 1．已知f(x)=x2－6x+5，问满足f(x)+f(y)≤0和f(x)－f(y)≥0的点(x，y)在平面上的什么范围内？并画图． 2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足已知条件，但它不是平行四边形．并证明你的作法． 3．设0α，0β，证明 +≥9?． 4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线，如果它把正方形分成两个面积相等的两部分，试证这条曲线的长度不小于1． 5．在正整数上定义一个函数f(n)如下：当n为偶数时，f(n)= ，当n为奇数时，f(n)=n+3， 1° 证明：对任何一个正整数m，数列a0=m，a1=f(a0)，…，an=f(an－1)，…中总有一项为1或3． 2° 在全部正整数中，哪些m使上述数列必然出现“3”？哪些m使上述数列必然出现“1”？ 6．如图，假设两圆O1和O2交于A、B，⊙O1的弦BC交⊙O2于E，⊙O2的弦BD交⊙O1于F，证明 ⑴ 若∠DBA=∠CBA，则DF=CE； ⑵ 若DF=CE，则∠DBA=∠CBA． 7．某区学生若干名参加数学竞赛，每个学生得分都是整数，总分为8250分，前三名的分数是88、85、80，最低分是30分，得同一分数的学生不超过3人，问至少有多少学生得分不低于60分(包括前三名)？ 1979年全国高中数学竞赛试题解答 第一试 1．求证：sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ) 证明：4 sinθsin(+θ)sin(+θ)=2sinθ[－cos(π＋2θ)＋cos]=2sinθcos2θ＋sinθ =2sinθ(1－2sin2θ)＋sinθ=3sinθ－4sin3θ=sin3θ． x+y=0和x－y=0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程． 解：设双曲线方程为x2－y2=λ，x2－y2=?1． 3．在△ABC中，∠A为钝角，求作一个面积最小的圆，把△ABC完全盖住． 解：以BC为直径作⊙O，则⊙O即为所求的最小圆． 首先，BC是△ABC的最长边，对于任意直径小于BC的圆，不可能盖住BC．(若能盖住，则得到圆的弦长大于同圆的直径，这是不可能的) 其次，由于∠A90?，故点A在圆内．即此圆盖住了△ABC．故证． 4．圆的两条非直径的弦相交，求证：它们不能互相平分． 证明：设⊙O的弦AB、CD互相平分于点M，连OM，则由M是弦AB中点． ∴ OM⊥AB，同理OM⊥CD．于是过点M可能作OM的两条垂线，这是不可能的．故证． 5．解方程组 解：五式相加：x＋y＋z＋u＋v=15． ⑴＋⑵：x＋u=3，⑵＋⑶：y＋v=5，?z=7；⑶＋⑷：z＋x=7，⑷＋⑸：u＋y=9?v=－1； x=0，y=6，u=3． 即x=0，y=6，z=7，u=3，v=－1． 6．解方程：5x2+x－x－2=0． 解：5x2－1≥0，?x≥或x≤－． ()2－1－x＋x=0，?(－1)(＋1－x)=0， ?=1．?x=?及x≥1时，5x2－1=1－2x＋x2，?2x2＋x－1=0，?x=－1，x=． ∴ x=?． 7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”． 证明：略(见课本) 8．设△ABC三内角成等差数列，三条对应边a、b、c的倒数成等差数列，试求A、B、C． 解：B=60?，+=，?sin60?(sinA＋sinC)=2sinAsinC， ?2cos(A－C)－3cos＋1=0，令x=cos，得4x2－3x－1=0，x=1，x=－ (舍) ∴ A=B=C=60?. 9．已知一点P(3，1)及两直线l1：x+2y+3=0，l2：x+2y=7=0，试求通过P点且与l1、l2相切的圆的方程． 解：两直线距离==2，圆心在直线x＋2y－2=0上． 设圆方程为(x－2＋2b)2＋(y－b)2=5，?(3－2＋2b)2＋(