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第四章 不定积分 §4.1 不定积分的概念与性质 一元函数的积分学 微分法是寻求给定函数导函数的运算方法，这个问题的逆问题是: 已知某函数的导函数，寻求原来的函数，即已知F ’(x)，求F(x)， 换句话说,就是已知f (x),求F(x), 使得F’(x)=f (x)，此时称F是 f 的原函数。这种求给定函数的原函数的运算方法称为积分法。本章将介绍一些常用基本积分方法。 关于原函数也有所谓“存在性”、“唯一性”、“可解性”三大问题。也就是说，在区间 I 上给定函数 f ，要问： f 具备什么条件它才存在原函数？f 的原函数唯一吗？如何求 f 的原函数？关于第一个问题，我们有下面的定理： 2. 不定积分的概念 定义2 函数在区间上所有原函数叫做在I上的不定积分，记作 * * 数学中的转折点是笛卡尔的变数.有了变数，运动进入了数学；有了变数, 辩证法进入了数学; 有了变数, 微分和积分也就立刻成为必要的了, 而它们也就立刻产生,并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的,但不是由他们发明的. 引 言 ------恩格斯 前面所讲的导数、微分、中值定理、导数的应用总起来说称为一元函数的微分学。本章我们要学习一元函数的积分学，这里所说的积分学包括两部分：不定积分与定积分。 在数学中必须考虑的运算分为两类：正的运算和逆的运算。例如加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，正整数次乘方的逆运算是开方，我们注意到，逆运算是一般比正运算困难，而且又常常引出新的结果。例如减法引出了负数，除法引出了有理数，正数开方引出了无理数，负数开方引出了虚数。也就是说，任何逆运算都会带来新的困难，都会经历新的结果。数学内部的基本矛盾也是推动数学向前发展的动力之一。 不定积分作为导数的逆问题引进，即已知导数而求其原来的函数。不难发现积分和微分是一对互逆的运算。 1. 原函数的概念 定义 从上述后面两个例子可见: 唯一的. 设f (x)是定义在空间I上的函数,若存在函 数 对任何 均有 或 则称函数F(x)为 f (x)在区间I上的原函数. 例如, 因为 故 是 的一个原函数; 因为 故 是 的一个原函数; 因为 故 是 的一个原函数; 一个函数的原函数不是 定理1 若函数 f (x)在区间 I 连续，则 f (x)在区间I内存在原函数. F(x) ＋C (x ∈ I ) 这个定理的证明较难，我们承认它。 定理2 若 F 是 f (x)在区间 I 内的一个原函数，则 f (x)在区间 I 内的原函数的一般表达式为 其中C是任意函数。 原函数的存在性和表达形式 由第3章拉格朗日定理的推论2知G(x) ＝F(x) ＋C ， x ∈ I，其中C是常数，这就是说， f (x)在 I 的任一原函数只可能具有F(x) ＋C 的形式。 证 显然F(x) ＋C是 f (x)在 I 的原函数，假若G(x)也是 f (x)在 I 的一个原函数，则G ′ (x) =f (x) ， x ∈ I，又知F ′ (x) =f (x) ，所以 ( G (x) －F (x) ) ′ ＝0 (x ∈ I ) 这个定理告诉我们，函数 f 的原函数不是唯一的，但它们仅差一个常数。 其中 f (x) 称为被积函数，x 称为积分变量，f (x)dx称为被积表达式，符号∫称为不定积分号。 其中C是一个任意常数，称为积分常数。 由定理2可知，如果知道了 f (x)的一个原函数F(x) ，则F(x)+C就是 f (x)的所有原函数，因而有 例1 问 与 是否相等? 解 不相等.(为什么？） 例2 求下列不定积分 解 (1) 所以 是 的一个原函数, 从而 (2) 所以 是 的一个原函数, 从而 (3) 因为 因为 因为 例2 求下列不定积分 解 (2)因为 所以 是 的一个原 从而 (3)因为 函数, 的原函数, 从而 完 故 是 的 例3 已知曲线 在任一点 处的切线斜率 为 且曲线通过点 求此曲线的方程. 解 根据题意知 即 是 的一个 从而 积分曲线族不定积分的几何意义.gsp 现在要上述积分曲线族中选出通过点 的那条 由曲线通过点 得 故所求曲线方程为 完 原函数, 曲线. 从不定积分的概念可知：“求不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算： 这就是说，若先积分后微分，则两者的作用互相抵消；若先微分后积分，则抵消后差一