1点的运动.PPTVIP

大小 M et et′ ?et et M et′ ?et M′ et′ 因为 所以 en 方向 et M et′ ?et M′ et′ 当 ?0时， et 和 et′以及 ?et 同处于M点的密切面内，这时， ?et 的极限方向垂直于et ，亦即沿 en方向。 ● 加速度在自然轴系上的投影形式 切向加速度 法向加速度 ?切向加速度 表示速度矢量大小的变化率； ?法向加速度 表示速度矢量方向的变化率； 表明加速度 a 在副法线方向没有分量； 还表明速度矢量v 和加速度矢量a 都位于密切面内。 ? ? 讨论 动点的加速度在切线上的投影，等于速度在切线上的投影对时间的导数；加速度在主法线上的投影，等于速度的平方除以轨迹在动点处的曲率半径；加速度在副法线上的投影恒等于零。 ? 结 论 加速度a与主法线所成的角度θ（恒取绝对值），由下式确定 因为加速度的两个分量an 与at 是相互垂直的，故得加速度a 的大小为 T et a N M en (－) (＋) an θ at ●全加速度大小和方向 例 飞机在铅直面内从位置M0处以s=250t+5t2 的规律沿半径r=1 500 m的圆弧作机动飞行（如图）。其中s以m计，t以s计。当t=5s时，试求飞机在轨迹上的位置M及其速度和加速度。 O M0 M r 例题1-4 O M0 M r (-) s (+) v0 v at an a 解：因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用 自然法求解。取M0为弧坐标 s 的原点，s 的正 负方向如图所示。 当t = 5 s时，飞机的位置 M 可由弧坐标确定 先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度 O M0 M r (-) s (+) v0 v at an a 故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为 代入 t = 5s 得 α 例半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt，其中ω是常量。试求在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。 O H C D M x y φ 例题1-3 O A H B C D M x y φ 解： 1.求M点的运动方程。 在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴 x 沿直线轨道，并指向轮子滚动的前进方向，轴 y 铅直向上。考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有OH=MH 。于是，在图示瞬时动点M 的坐标为 ⌒ ⌒ 这方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一圈的时间 T=2π/ω ，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P是尖点。 O A H B C D M x y φ P 以 代入，得M点的运动方程 E 求坐标 x，y 对时间的一阶导数，得 故得M点速度 v 的大小和方向，有 M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。 O A H B C D M P x y φ 2.求M点的瞬时速度。 v 求vx，vy 对时间的一阶导数，得 故得M点加速度 a 的大小和方向，有 x=0, y=0; 当t = 0时，有 这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。 O A H B C D M P E x y φ a 3.求M点的瞬时加速度。 求轮缘上M点的切向加速度和法向加速度，并求轨迹的最大曲率半径。 O H C D M x y φ P a v 例题1-5 解： 因而它的切向加速度 O H C D M E x y φ 2π v at a 1.求切向加速度 矢量 at 和 an 的方向分别沿MD 和MH。 M点的法向加速度大小 O H C D M E x y φ 2π v at a an 2.求法向加速度 已知 另一方面， ，故轨迹的曲率半径为 可见，轨迹的最大曲率半径 ，对应于轨迹的最高点 。 O H C D M x y φ 2π v at a an E π 3.求曲率半径 第五章 点的运动 运 动 学 点的运动 1.运动学的主要内容 ? 运动学是从几何观点描述物体的机械运动,只阐明运动过程的几何特征及其各运动的要素之间的关系,而不涉及运动的物理原因。 ? 运动学的任务是： 研究物体在空间的位置随时间变化的几何性质。如： 点的轨迹、速度、加速度，刚体的角速 度、角加速度，以