2.1数列的概念与简单表示法学案(人教A版必修5).doc

第二章　数　列 §2.1　数列的概念与简单表示法 材拓展 1．从函数的观点看数列 一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法．即：数列{an}单调递增an＋1an对任意n (n∈N*)都成立；数列{an}单调递减an＋1an对任意n (n∈N*)都成立． 另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线． 例如：已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是(　　) A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a10，a30 解析　∵an＝ ＝＋1 ∴点(n，an)在函数y＝＋1的图象上． 在直角坐标系中作出函数y＝＋1的图象． 由图象易知 当x∈(0，)时，函数单调递减． ∴a9a8a7…a11， 当x∈(，＋∞)时，函数单调递减． ∴a10a11…a301. 所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9. 答案　C 2．了解一点周期数列的知识 类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列{an}，若存在一个大于1的自然数T(T为常数)，使an＋T＝an，对一切n∈N*恒成立，则称数列{an}为周期数列，T就是它的一个周期．易知，若T是{an}的一个周期，则kT (k∈N*)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期． 例如：已知数列{an}中，a1＝a (a为正常数)，an＋1＝ (n＝1,2,3，…)，则下列能使an＝a的n的数值是(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 解析　a1＝a，a2＝， a3＝＝＝， a4＝＝＝a， a5＝＝，……. ∴a4＝a1，a5＝a2，…依次类推可得：an＋3＝an， ∴{an}为周期数列，周期为3. ∵a1＝a，∴a3k＋1＝a1＝a. 答案　B 3．数列的前n项和Sn与an的关系 对所有数列都有：Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1 (n≥2)．因此，当n≥2时，有：an＝Sn－Sn－1.当n＝1时，有：a1＝S1.所以an与Sn的关系为：an＝.注意这一关系适用于所有数列． 例如：已知数列{an}的前n项和Sn＝(n－1)·2n＋1，则an＝________. 解析　当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝[(n－1)·2n＋1]－[(n－2)·2n－1＋1] ＝(n－1)·2n－(n－2)·2n－1 ＝n·2n－1. 所以通项公式可以统一为an＝n·2n－1. 答案　n·2n－1 4．由简单的递推公式求通项公式 (1)形如an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求和，采用累加法求an. 即：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝a1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1) ＝a1＋f(i) (2)形如an＋1＝f(n)·an，且f(1)·f(2)…f(n)可化简，采用累乘法求an. 即an＝a1···…·＝a1·f(1)·f(2)·…·f(n－1)＝a1·f(i) (注：∑为连加求和符号，Π为连乘求积符号) (3)形如an＋1＝Aan＋B (AB≠0且A≠1)． 设an＋1－x＝A(an－x)，则： an＋1＝Aan＋(1－A)x 由(1－A)x＝B， ∴x＝ ∴an＋1－＝A ∴an－＝A ＝A2 ＝…＝An－1 ∴an＝＋An－1 ＝(1－An－1)·＋An－1a1. 法突破 一、观察法写数列的通项公式 方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律．根据此规律便可写出一个相应的通项公式．注意以下几点： (1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3，…标在相应项上，这样便于突出第n项an与项数n的关系，即an如何用n表示． (2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它进行还原工作．如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试． (3)当一个数列出现“＋”、“－”相间时，应先把符号分离出来，即用(－1)n或(－1)n－1表示，然后再考虑各项绝对值的规律． (4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的通项公式． 例1　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)，，，，…；　　(2)，2，，8，，…； (3)1,3,