2006全国硕士研究生统一入学考试考研数学一试题及答案解析.doc

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题：小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) . (2) 微分方程的通解是 . (3) 设是锥面()的下侧，则 . (4) 点到平面的距离= . (5) 设矩阵，为阶单位矩阵，矩阵满足，则= . (6)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则= . 二、选择题：小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则( ) (A) (B)(C) (D) (8) 设为连续函数，则等于( )(A) (B) (C) (D) (9) 若级数收敛，则级数( ) (A)收敛. (B)收敛. (C)收敛. (D)收敛. (10) 设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是( ) (A)若，则. (B)若，则. (C)若，则. (D)若，则. (11) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是( ) (A)若线性相关，则线性相关. (B)若线性相关，则线性无关. (C)若线性无关，则线性相关. (D)若线性无关，线性无关. (12) 设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则( ) (A) (B) (C) (D) (13) 设为随机事件，且，则必有( ) (A) (B) (C) (D) (14) 设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且 则必有( ) (A) (B) (C) (D) 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) 设区域,计算二重积分 . (16)(本题满分12分) 设数列满足 . ()证明存在,并求该极限 ； )计算 . (17)(本题满分12分) 将函数展开成的幂级数 . (18)(本题满分12分) 设函数在内具有二阶导数，且满足等式 () 验证. () 若求函数的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面内,函数是有连续偏导数,且对任意的都有. 证明: 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有 (20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组有个线性无关的解 () 证明方程组系数矩阵的秩; () 求的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分) 设阶实对称矩阵的各行元素之和均为,向量是线性方程组的两个解. () 求的特征值与特征向量 () 求正交矩阵和对角矩阵,使得. (22)(本题满分9分) 随机变量的概率密度为 为二维随机变量的分布函数.求 () 的概率密度; () . (23)(本题满分9分) 设总体的概率密度为. 为来自总体的简单随机样本,记为样本值中小于的个数,求的最大似然估计. 2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题 (1)【答案】2. 【详解】由等价无穷小替换，时，， =2 (2)【答案】. 【详解】分离变量， (3)【答案】 【详解】补一个曲面,取上侧，则组成的封闭立体满足高斯公式， 设 ∴(为锥面和平面所围区域)(为上述圆锥体体积) 注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积 方法1：(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便) 而 (在上：) 方法2：先二重积分，后定积分. ，，，， .从而 方法3：利用球面坐标在球坐标下为：， 方法4：利用柱面坐标 . (4)【答案】 【详解】代入点 到平面的距离公式 (5)【答案】 【详解】由已知条件变形得，, 两边取行列式, 得 其中，， 因此，.(6)【答案】 【详解】根据独立性原理：若事件独立，则 事件，而随机变量与均服从区间上的均匀分布，有和. 又随机变量与相互独立，所以， 二、选择题. (7)【答案】 【详解】方法1： 图示法因为则严格单调增加；因为 则是凹函数，又，画的图形 结合图形分析，就可以明显得出结论：. 方法2：用两次拉格朗日中值定理 (前两项用拉氏定理) (再用一次拉氏定理)