2008年江苏省高中数学竞赛试题与答案.doc

2008年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛试题参考答案及评分标准 一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 1. 如果实数mn，x，y满足，，其中ab为常数那么mx+ny的最大值为答[B] A. B. C. D. 解 由柯西不等式或三角换元即可得到 当时. 选B. 2. 设为指数函数. 在P(1,1)Q(1,2)，M(2,3)，四点中函数与反函数的图像的公共点只可能是点 答[D] A. P B. Q C. M D. N 解 取把坐标代入检验，而∴公共点只可能是点N. 选D.3. 在如图的表格中如果每格填上一个数后，每一横行成差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为答[A] A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5第三、四、五列中的，，，则. 选A. 4. 如果的三个内角的余弦值分别是的三个角的正弦值，那么 答[B] A. 与都是锐角三形 B. 是锐角三角形，是钝角三形 C. 是钝角三角形，是锐角三形 D. 与都是钝角三形 解 两个三角形的内角不能有直角的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形若是锐角三角形，则不妨设 cos=sin=cos， cos=sin=coscos=sin=cos. 则 ，， 即 ，矛盾. 选B. 5. 设a，b是夹角为30°的异面直线则满足条件，，且的平面 答 [D] A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对解 任作a的平面，可以作无数个. 在b上任取一点M过M作的垂线. b与垂线确定的平面垂直于. 选D. 二、填空题（本题满分50分，每小题10分） 6. 设集合，其中符号表示不大于x的最大整数，则. 解 ∵，的值可取. 当[x]=，则无解 当[x]=，则，∴x=当[x]=0，则无解 当[x]=1，则，∴.所以.7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是(结果要求写成既约分数. 解考虑对立事件，. 8. 已知点O在内部，.的面积之比为51. 解 由图，与的底边相同， 高是51. 故面积比是51. 9. 与圆外且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为. 解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、为准抛物线上的若切点是原点则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为，或. 10. 在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 . 解 切割化弦，已知等式即 亦，即=1，即. 所以，故. 三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分） 在时有最大值1，，并且时，的取值范围为. 试求m，n的值. 解 由题 ， ……5分 ，，即，上单调减， 且. ……10分 ，n是方程的两个解，方程即 =0， 解方程，得解为1，，. ，，. ……15分 12. A、B为双曲线上的两个动点，满足。 （Ⅰ）求证：为定值； （Ⅱ）动点P在线段AB上，满足，求证：点P在定圆上. 证 （Ⅰ）设点A的坐标为，B的坐标为，则， ，A在双曲线上，则 . 所以 . ……5分 由得，所以，. 同理， ， 所以 . ……10分 （Ⅱ）由三角形面积公式，得，所以 ，即. 即. 于是，. 即P在以O为圆心、为半径的定圆上. ……15分 13. 如图，平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线 DC在平面N内. 已知，，，且，， 都是 锐角. 求二面角的平面角的余弦值（用，，的三角函数值表示）. 解 在平面M中，过A作DA的垂线， 交射线DB于B点； 在平面N中，过A作DA的垂线， 交射线DC于C点. 设DA=1，则 ，， ，， ……5分 并且就是二面角平面角.