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* 用Floyd算法得到最小费用增广链μ3：s→③→④→⑥，调整量θ＝1，调整后得到最小费用流f(3)，流量v(3)＝8，总运费 d(f(3))＝2×4＋3×8＋5×3＋6×1＝53 如图6－29(f)。 (12,3) (3,5) (3,4) (1,6) (2,3) (9,12) 图6－29 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ s (10,0) (6,0) (3,0) (f) f (3) (4) (4) (8) (6,4) (4,2) (3) (3) (1) (1) 6.3 最大流问题 Maximal Flow Problem * (5)类似地，得到图6－29(g) 3 －5 4 －2 4 －6 3 12 图6－29 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ s 0 0 0 (g) f (3)，赋权图D3 －3 (12,3) (3,5) (3,4) (1,6) (2,3) (9,12) 图6－29 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ s (10,0) (6,0) (3,0) (h) f (4) (4) (4) (8) (6,4) (4,2) (3) (3) (3) (1) (2) (2) 最小费用增广链μ4：s→③→⑤→⑥，调整量θ＝2，流量v(4)＝10。见图6－29(h) 6.3 最大流问题 Maximal Flow Problem * 最小费用增广链μ5：s→①→⑤→⑥,调整量θ＝6，取θ＝5，流量v(5)＝v＝15得到满足，最小费用流见图6－29(j)，问题1计算结束。 3 －5 4 －2 4 －6 －3 12 图6－29 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ s 0 0 0 (i) f (4)，赋权图D4 －3 －12 (12,3) (3,5) (3,4) (1,6) (2,3) (9,12) 图6－29 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ s (10,0) (6,0) (3,0) (j) f (5) (9) (4) (8) (6,4) (4,2) (3) (3) (3) (1) (2) (7) (5) (6)由图6－29(g)及(h),得到图 6－29(i), 6.3 最大流问题 Maximal Flow Problem * (7)求最小费用最大流。对图6－29(i)的最小费用增广链μ5，取调整量θ＝6对流量调整，得到图6－30(a)及赋权图6－30(b) (12,3) (3,5) (3,4) (1,6) (2,3) (9,12) 图6－30 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ s (10,0) (6,0) (3,0) (a) f (5) (10) (4) (8) (6,4) (4,2) (3) (3) (3) (1) (2) (8) (6) 6.3 最大流问题 Maximal Flow Problem * 3 －5 －4 －2 4 －6 －3 12 图6－30 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ s 0 0 0 (b) f (5)，赋权图D5 －3 －12 (8)图6－30(b)的最小费用增广链μ6：s→②→⑤→⑥， 6.3 最大流问题 Maximal Flow Problem * (12,3) (3,5) (3,4) (1,6) (2,3) (9,12) 图6－30 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ s (10,0) (6,0) (3,0) (c) f (6) (10) (4) (8) (6,4) (4,2) (4) (3) (3) (1) (2) (9) (6) (1) 调整量θ＝1，流量v(6)＝17，最小费用流为f(6)，见图6－30(c)。 6.3 最大流问题 Maximal Flow Problem * 赋权图见图6－30（d）。图6－30(d)不存在从vs发点到v6的最短路，则图6－30(c)的流就是最小费用最大流，最大流量v=17，最小的总运费为 d(f)=4×4＋4×6＋5×3＋4×1＋6×1＋3×2＋3×8＋9×9＝176 3 －5 －4 －2 4 －6 －3 －12 图6－30 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ s 0 0 0 (d) f (6)，赋权图D6 －3 －4 3个工厂分别运送10、4及3个单位物质到v6，总运量为17，运费为176 6.3 最大流问题 Maximal Flow Problem * 6.3.5最大流应用举例 1.二分图的最大匹配问题 【例6.12】某公司需要招聘5个专业的毕业生各一个，通过本人报名和筛选，公司最后认为有6人都达到录取条件。这6人所学专业见表6-10,表中打“√”表示该生所学专业。公司应招聘哪几位毕业生，如何分配他们的工作 毕业生 A.市场营销 B.工程管理 C.管理信息 D.计算机 E.企业管理 1 √ √ 2 √ √ 3 √ √ 4 √ √ 5 √ √ 6 √ √ 表