2009数列高考题汇编大题.doc

高考数学经典试题分类汇编——数列 1.(2009年广东卷）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）. （1）求数列和的通项公式； （2）若数列{前项和为，问的最小正整数是多少? . 【解析】（1） ,, . 又数列成等比数列， ， ； 公比， ； 又, ； 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ； )； （2） 由得，满足的最小正整数为112. 中， （I）设，求数列的通项公式 （II）求数列的前项和 分析：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: () （II）由（I）知, = 而,又是一个典型的错位相减法模型， 易得 = 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 3.（2009浙江文）（本题满分14分）设为数列的前项和，，，其中是常数． （I） 求及； （II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值． 解析：（）当， （） 经验，（）式成立， （）成等比数列，， 即，整理得：， 对任意的成立， 的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值. （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式； （Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题. （Ⅰ）由题意，得，解，得. . ∴成立的所有n中的最小整数为7，即. （Ⅱ）由题意，得， 对于正整数，由，得. 根据的定义可知 当时，；当时，. ∴ . （Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得. ∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有 ，即对任意的正整数m都成立. 当（或）时，得（或）， 这与上述结论矛盾！ 当，即时，得，解得. ∴ 存在p和q，使得； p和q的取值范围分别是，. . 5.（2009北京理）（本小题共13分） 已知数集具有性质；对任意的 ，与两数中至少有一个属于. （Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）证明：，且； （Ⅲ）证明：当时，成等比数列. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题. （Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P. 由于都属于数集， ∴该数集具有性质P. （Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，∴，故. . 从而，∴. ∵， ∴，故. 由A具有性质P. 又∵， ∴， 从而， ∴. . （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即， ∵，∴，∴， 由A具有性质P. ，得，且，∴， ∴，即是首项为1，公比为成等比数列..k.s.5. 6.（2009江苏卷）（本小题满分14分） 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。 （1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。 （1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，, (2) （方法一）=,设， 则=, 所以为8的约数 （方法二）因为为数列中的项， 故为整数，又由（1）知：为奇数，所以 经检验，符合题意的正整数只有。. 7.（2009江苏卷）（本题满分10分） 对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。 （1）求和； （2）求证：对任意正整数≥2，有. 【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。 . 8.(2009山东卷理)（本小题满分12分） 等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)