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模糊数学基本概念 处理现实对象的数学模型: 确定性数学模型:它的背景对象具有确定性或固定性,对象间具有必然的关系。 随机性数学模型:它的背景对象具有或然性或随机性。 模糊性数学模型:它的背景对象及其关系均具有模糊性。 模糊性的数学模型所描述的事物本身的含义是不确定的。 常见的模糊概念:“高个子”, “多云”, “黄昏”“四肢无力”, “性能良好”. 模糊集的运算 X={1,2,3,4,5,6,7,8} 三、 隶属函数的确定 模糊数学的基本思想是隶属度思想。 应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题。这里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。 1. 模糊统计方法 常用的隶属函数有Z函数（偏小型）、∏函数（中间型）、S函数（偏大型）. 偏小型一般适合于描述像“小，少，浅，淡，青年”等偏小程度的模糊现象。 偏大型一般适合于描述像“大，多，深，浓，老年”等偏大程度的模糊现象。 中间型一般适合于描述像“中，适中，不太多，不太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现象。 * * 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的. 然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用. 秃子悖论 第一讲 模糊集合及其运算 一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。 通常用大写字母A、B、C等表示。 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U、V、X、Y等表示。 论域U中的每个对象u称为U的元素。 在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 或者 ，用函数表示为： 其中 函数 称为集合A的特征函数。 二、模糊集合及其运算 1、模糊子集 定义：设U是论域，称映射 确定了一个U上的模糊子集 。映射 称为 隶属函 数， 称为 对 的隶属程度，简称隶属度。 模糊子集 由隶属函数 唯一确定，故认为二者 是等同的。为简单见，通常用A来表示 和 。 例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为 也可用Zadeh表示法： 相等：A = B ? A(x) = B(x)； 包含：A?B ? A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为 (A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；取大运算 交：A∩B的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；取小运算 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x). 与概率统计类似，但有区别：若把概率统计随机事件A是固定不变的，样本空间中样本点数十变动，而模糊统计试验中，x是固定不变的，而模糊集A*是可变的。 2. 指派方法 一种主观方法根据实践经验来确定，一般给出隶属函数的解析表达式。 3. 借用已有的“客观”尺度 根据问题的实际意义来确定，在经济管理，社会管理中常用。如U表示产品，定义A模糊集“质量稳定”，可用产品的“正品率”作为A的隶属度。 *