一阶微分方程的求解.pptVIP

3.3 一阶微分方程的求解 当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商 取代一阶导数 前向欧拉法的几何意义： 例1. 应用前向欧拉法解初值问题 微分方程 是一阶线性微分方程，可求出其通解： 计算结果列表（ 为前向欧拉法计算近似值， 为精确值） 分析： 当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不 是很高。步长取定后，步数越多，误差越 大。 二、后向欧拉法 后向欧拉法的几何意义： 例2. 应用后向欧拉法解初值问题 计算结果列表（ 为后向欧拉法计算近似值， 为精确值） 三. 梯形法及其预估-矫正法 几何意义 Euler法??折线法 改进Euler法??平均斜率折线法 * 一阶微分方程的求解 3.3 * 电路暂态分析的目的是为了得到 电路的时域响应。 建立动态电路的状态方程，得到一阶微分方程组（或一阶微分方程），再求该方程组的解。 因此暂态分析的实质就是如何获得并且求解电路的常微分方程。 一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下， 求微分方程的初值问题 基本思想： 在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分方程，得到各时间离散点 、 … 处的函数 近似值 、 … 一.前向欧拉法 令步长 ，则 其近似值为： 近似解的误差首先是由差商近似代替微商引起的，这种近似代替所产生的误差称为截断误差。还有一种误差称为舍入误差，这种误差是由于计算时数值舍入引起的。 在任一步长内，用一段直线代替函数 的曲线，此直线段的斜率等于该函数在该步长起点的斜率。 欧拉法的几何意义：过点A0（t0，y0），A1（t1，y1），…，A n（t n，y n ），斜率分别为f（t0，y0），f（t1，y1），…，f（tn，y n）所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。 取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较 解：据前向欧拉法 又 有： 【思路】 用欧拉法求解常微分方程的初值问题时，首先熟练掌握欧拉公式的一般形式，根据具体题目写出找出欧拉公式的迭代式，并根据初始条件和所给步长进行迭代求解。 则方程的解为： 从而有： 带入初值 可得 一阶非齐次线性微分方程 1.497477101 7.963873479 6.466396378 1.7 7 1.100143681 5.720961527 4.620817846 1.6 6 0.780221173 3.967666295 3.187445122 1.5 5 0.526811864 2.620359552 2.093547688 1.4 4 0.330236735 1.607215079 1.276978344 1.3 3 0.181886958 0.866642536 0.684755578 1.2 2 0.074019693 0.345919876 0.271828183 1.1 1 0 0 0 1.0 0 n 正 用一阶差商近似代替 在一个步长终点的一阶导数，则原微分方程化为： 对于给定初始条件 的微分方程 其近似值： 在任一步长内，用一段直线 代替函数 的曲线，此直 线段的斜率等于该函数在该 步长终点的斜率。 精确值 近似值 注：后向欧拉法的两种处理方式 ① 前向Euler法为显式，后向Euler法为隐式——须解出yk+1. ② 可用迭代法 yk+1 (n+1) = yk + hf (tk+1，yk+1(n)) n = 0，1，2，… 解得yk+1 ， 其中yk+1(0) = yk + hf (tk，yk).（结合前向欧拉法，预报） 取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较 解：据后向欧拉法 又 -1.922824060 7.963873479 9.886697539 1.7 7 -1.420624329 5.720961527 7.141585856 1.6 6 -1.013245028 3.967666295 4.980911323 1.5 5 -0.688050221 2.620359552 3.308409773 1.4 4 -0.433745533 1.607215079 2.040960612 1.3 3 -0.240212999 0.866642536 1.106855535 1.2 2 -0.098362899 0.345919876 0.444282775 1.1 1 0 0 0 1.0 0 n 负 用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的 一阶导数的平均值 梯形公式